Soluzioni
  • Si dice diagonale del cubo il segmento che unisce due vertici di un cubo non appartenenti alla stessa faccia; un cubo ha 4 diagonali e sono tutte congruenti tra loro.

    Un errore comune commesso dagli studenti consiste nel confondere la diagonale di un cubo con la diagonale di base, che è il segmento che unisce due vertici non consecutivi del quadrato che forma la base del cubo.

     

    Diagonale cubo

    Diagonale D di un cubo.

     

    Formule per la diagonale del cubo

    La diagonale di un cubo è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo avente come cateti lo spigolo del cubo e la diagonale di base; indicando con D la diagonale del cubo, con d la diagonale di base e con L lo spigolo, per il teorema di Pitagora:

    D=\sqrt{d^2+L^2}

    d è la diagonale di un quadrato, quindi la sua misura si ottiene moltiplicando il lato L per la radice quadrata di 2

    d=\sqrt{2}L

    Sostituendo tale espressione nella precedete formula otteniamo

    D=\sqrt{d^2+L^2}=\sqrt{\left(\sqrt{2}L\right)^2+L^2} = \sqrt{2L^2+L^2} = \sqrt{3L^2}=\sqrt{3}L

    In definitiva, la misura della diagonale si calcola moltiplicando la lunghezza dello spigolo per la radice quadrata di 3

    D=\sqrt{3}L

    Poiché lo spigolo del cubo può essere ricavato da qualsiasi altro dato a nostra disposizione, quella che abbiamo appena scritto è l'unica formula da ricordare per il calcolo della diagonale.

    Esistono tuttavia anche altre formule dirette che, per completezza, abbiamo riportato nella tabella sottostante. In riferimento al significato dei simboli, abbiamo indicato con S_{tot} l'area della superficie totale, con S_{lat} l'area della superficie laterale, con r il raggio della sfera inscritta e con R il raggio della sfera circoscritta.

     

    Diagonale del cubo con lo spigolo

    D=\sqrt{3}L

    Diagonale del cubo con la superficie totale

    D=\sqrt{\frac{S_{tot}}{2}}

    Diagonale del cubo con la superficie laterale

    D=\frac{\sqrt{3} \times S_{lat}}{2}

    Diagonale del cubo con il raggio della sfera inscritta

    D=2\sqrt{3} r

    Diagonale del cubo con il raggio della sfera circoscritta

    D=2R

     

    Per tutte le formule sul cubo, comprese le formule inverse della diagonale, vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sulla diagonale del cubo

    Passiamo ora in rassegna le principali tipologie di esercizi in cui viene richiesto il calcolo della diagonale di un cubo. Ogni problema è svolto nel dettaglio, con tutti i calcoli e le spiegazioni necessarie, e con lo scopo di farvi notare che non è assolutamente necessario conoscere tutte le formule elencate in tabella.

    Calcolo diagonale cubo con lo spigolo

    Disponendo della misura dello spigolo si può calcolare la lunghezza della diagonale moltiplicando lo spigolo per la radice quadrata di 3.

    D=\sqrt{3}L

    Esempio

    Calcolare la diagonale di un cubo il cui spigolo misura 5 metri.

    D=\sqrt{3}L = \sqrt{3} \times (5 \mbox{ m}) = 5\sqrt{3} \mbox{ m} \simeq 8,66 \mbox{ m}

    Nell'ultimo passaggio abbiamo approssimato il risultato del prodotto alla seconda cifra decimale.

    Calcolo diagonale cubo con il volume

    Se il testo del problema fornisce il volume del cubo, si deve dapprima calcolare la misura dello spigolo estraendo la radice cubica del volume

    L=\sqrt[3]{V}

    per poi calcolare la misura della diagonale con la relativa fomula

    D=\sqrt{3}L

    Esempio

    Trovare la misura della diagonale di un cubo sapendo che il suo volume è di 64 metri cubi.

    Calcoliamo la lunghezza dello spigolo come la radice terza del volume

    L=\sqrt[3]{V} = \sqrt[3]{64 \mbox{ m}^3} = 4 \mbox{ m}

    Possiamo quindi procedere al calcolo della diagonale

    D=\sqrt{3}L=\sqrt{3} \times (4 \mbox{ m}) = 4\sqrt{3} \mbox{ m} \simeq 6,93 \mbox{ m}

    Calcolo diagonale cubo con l'area

    L'area del cubo è l'area della superficie totale, data dalla somma delle aree dei sei quadrati che delimitano il cubo.

    S_{tot} = 6L^2

    Invertendo la precedente formula in favore di L si può ricavare la misura dello spigolo

    L=\sqrt{\frac{S_{tot}}{6}}

    e, successivamente, trovare la lunghezza della diagonale moltiplicando lo spigolo per √3

    D=\sqrt{3}L

    Esempio

    L'area della superficie totale di un cubo è di 24 metri quadrati; determinare la misura della diagonale.

    Troviamo la misura dello spigolo dall'area

    L=\sqrt{\frac{S_{tot}}{6}}=\sqrt{\frac{24 \mbox{ m}^2}{6}} = \sqrt{4 \mbox{ m}^2} = 2 \mbox{ m}

    e, infine, calcoliamo la misura della diagonale con l'usuale formula

    D=\sqrt{3}L=\sqrt{3} \times (2\mbox{ m}) = 2\sqrt{3} \mbox{ m} \simeq 3,46 \mbox{ m}

    Calcolo diagonale cubo con l'area laterale

    L'area laterale è la somma delle aree delle quattro facce laterali del cubo. Poiché ogni faccia è un quadrato e ha un'area data dal quadrato della misura dello spigolo, vale

    S_{lat} = 4L^2

    Dividendo l'area della superficie laterale per 4 ed estraendo la radice quadrata si ricava la misura dello spigolo

    L=\sqrt{\frac{S_{lat}}{4}}

    Abbiamo quindi tutto quello che ci serve per calcolare la diagonale

    D=\sqrt{3}L

    Esempio

    Trovare la misura della diagonale di un cubo sapendo che l'area della superficie laterale è di 100 centimetri quadrati.

    Procediamo dapprima al calcolo della misura dello spigolo

    L=\sqrt{\frac{S_{lat}}{4}}=\sqrt{\frac{100 \mbox{ cm}^2}{4}}=\sqrt{25 \mbox{ cm}^2} = 5 \mbox{ m}

    per poi determinare la misura della diagonale

    D=\sqrt{3}L = \sqrt{3} \times (5 \mbox{ cm}) = 5\sqrt{3} \mbox{ cm} \simeq 8,66 \mbox{ cm}

    Calcolo diagonale cubo con il raggio della sfera inscritta

    Se un cubo è circoscritto a una sfera, il raggio r della circonferenza inscritta è la metà dello spigolo

    r=\frac{L}{2}

    Possiamo dunque trovare la misura dello spigolo moltiplicando la lunghezza del raggio per 2

    L=2r

    e, successivamente, calcolare la misura della diagonale

    D=\sqrt{3}L

    Esempio

    Il raggio della sfera inscritta in un cubo è di 4,5 centimetri; trovare la misura della diagonale.

    Moltiplicando il raggio per 2 otteniamo la lunghezza dello spigolo

    L=2r = 2 \times (4,5 \mbox{ cm}) = 9 \mbox{ cm}

    Calcoliamo poi la misura della diagonale come prodotto tra spigolo e radice di 3

    D=\sqrt{3}L = \sqrt{3} \times (9 \mbox{ cm}) = 9\sqrt{3} \mbox{ cm} \simeq 15,59 \mbox{ cm}

    Calcolo diagonale cubo con il raggio della sfera circoscritta

    Il raggio della sfera circoscritta a un cubo è la metà della diagonale, quindi per ottenere la misura della diagonale basta moltiplicare la misura del raggio per 2

    D=2R

    Esempio

    Trovare la misura della diagonale di un cubo inscritto in una sfera il cui raggio misura 2,3 decimetri.

    D=2R=2\times (2,3 \mbox{ dm}) = 4,6 \mbox{ dm}

    ***

    Se volete consultare altri esercizi svolti sul cubo - click!

    Risposta di Galois
 
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