esercizio dimostra che(Z7,°) è un gruppo

Ho svolto quest esercizio,potreste controllarlo?

so che per essere un gruppo deve valere la prop associativa,commutativa,deve esistere un elemento neutro e il simmetrizzabile.

Siamo in (Z^7,°)  a°b=a+b+3    (tutte le lettere e i numeri hanno un trattino sopra,suppongo perchè ci troviamo in Z7 e quindi per indicare che non sono ancora stati trasformati)

vedo se è asscociativa:

a°(b°c)=(a°b)°c    il risultato è a+b+c+3=a+b+3+c è associativa

 è commutativa? a°b=b°a   risultato   a+b+3=b+a+3   è commutativa

esiste l elemento neutro?

cioè:Εn:a+n=a?     a+n+3=a ---->n=-3   l elemento neutro è -3

elemnto simmetrizzabile?

Ea': a°a'=n          a+a'+3=-3 ------>a=-9-a' gli elementi simmetrizabilisono tutti quegli elemtni -9-a per un qualsiasi valore di a.

Dunque valgono tutte le proprietà allora (Z7,°) è un gruppo

è giusto? grazie