Soluzioni
  • Prima di occuparci dell'esercizio, effettuiamo un breve ripasso teorico sulle condizioni di esistenza per i radicali.

    Consideriamo un'espressione irrazionale del tipo

    \sqrt[n]{R(x)}

    dove l'indice n è un numero naturale maggiore di 1, mentre il radicando R(x) è un termine che dipende dalla variabile x.

    Se n è un numero dispari

    \sqrt[n]{R(x)}\ \ \ \mbox{con }n\mbox{ dispari}

    allora il radicando non è soggetto a condizioni di esistenza relative alla radice; potrebbero però esserci condizioni di esistenza che riguardano il radicando R(x).

    Se n è un numero pari

    \sqrt[n]{R(x)}\ \ \ \mbox{con }n\mbox{ pari}

    allora il radicando è soggetto a una condizione di esistenza relativa alla radice: deve essere maggiore-uguale a zero

    R(x)\ge 0

    Oltre a questa CE dobbiamo anche tenere conto di eventuali condizioni riguardanti il radicando.

    Riassumendo

    Se l'indice è dispari, il radicale richiede solamente che il radicando abbia senso; se invece l'indice è pari, il radicale impone che il radicando sia maggiore-uguale a zero.

    Esempio

    Consideriamo il radicale che hai proposto

    \sqrt[5]{\frac{x^2}{x+1}}

    L'indice n=5 è dispari; il radicando è

    \frac{x^2}{x+1}

    ossia una frazione algebrica con denominatore x+1.

    Il radicale di per sé non necessita di alcuna CE, ma d'altra parte la frazione algebrica ha senso solo se il denominatore è diverso da zero:

    x+1\ne 0 \ \ \ \to \ \ \ x\ne -1

    Possiamo concludere che la condizione di esistenza per l'espressione è:

    \mbox{C.E.}:\ x\ne -1

    Fatto!

    Risposta di Ifrit
 
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