Condizioni di esistenza radicali con indice dispari

Autore: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit) -
Ultimo aggiornamento:

Il mio professore ha introdotto le condizioni di esistenza per i radicali e ha proposto un esercizio che non so risolvere. Mi viene chiesto di trovare l'insieme di esistenza di un radicale con indice dispari di una frazione algebrica. Come dovrei procedere in questa circostanza?

Trovare l'insieme di esistenza dell'espressione irrazionale

[5]√((x^2)/(x+1))

Grazie.

Soluzione

Prima di occuparci dell'esercizio, effettuiamo un breve ripasso teorico sulle condizioni di esistenza per i radicali.

Consideriamo un'espressione irrazionale del tipo

[n]√(R(x))

dove l'indice n è un numero naturale maggiore di 1, mentre il radicando R(x) è un termine che dipende dalla variabile x.

Se n è un numero dispari

[n]√(R(x)) con n dispari

allora il radicando non è soggetto a condizioni di esistenza relative alla radice; potrebbero però esserci condizioni di esistenza che riguardano il radicando R(x).

Se n è un numero pari

[n]√(R(x)) con n pari

allora il radicando è soggetto a una condizione di esistenza relativa alla radice: deve essere maggiore-uguale a zero

R(x) ≥ 0

Oltre a questa CE dobbiamo anche tenere conto di eventuali condizioni riguardanti il radicando.

Riassumendo

Se l'indice è dispari, il radicale richiede solamente che il radicando abbia senso; se invece l'indice è pari, il radicale impone che il radicando sia maggiore-uguale a zero.

Esempio

Consideriamo il radicale che hai proposto

[5]√((x^2)/(x+1))

L'indice n = 5 è dispari; il radicando è

(x^2)/(x+1)

ossia una frazione algebrica con denominatore x+1.

Il radicale di per sé non necessita di alcuna CE, ma d'altra parte la frazione algebrica ha senso solo se il denominatore è diverso da zero:

x+1 ne 0 → x ne−1

Possiamo concludere che la condizione di esistenza per l'espressione è:

C.E.: x ne−1

Fatto!

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