Soluzioni
  • Arrivo kikka, un attimo di pazienza e rispondo!

    Risposta di Alpha
  • In effetti qui non vedo bene l'utilizzo delle curve di livello, userei piuttosto il metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Se ti interessano gli esercizi sulle curve di livello, dai un'occhiata alla scheda di esercizi svolti del link. ;)

    Chiamiamo

    f(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2

    e

    g(x,y)=2y-x

    Per trovare gli eventuali massimi e minimi di f(x,y) rispetto al vincolo 2y-x=0 calcoliamo le derivate parziali di

    \mathcal{L}(x,y,\lambda)=f(x,y)-\lambda g(x,y)=(x-1)^2+(y-2)^2-\lambda (2y-x)

    Sono date da

    \nabla\mathcal{L}(x,y,\lambda)=\left\{\begin{matrix}\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x}=2x-2+\lambda\\\\\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y}=2y-4-2\lambda\\\\\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial \lambda}=2y-x\end{matrix}

    Poniamole uguali a zero

    \left\{\begin{matrix}2x-2+\lambda=0\\2y-4-2\lambda=0\\2y-x=0\end{matrix}

    Risolvendo questo sistema otterrai la soluzione (x,y)=(8/3,4/3). Il parametro λ vale -2/3, ma ci è solo utile per la risoluzione del sistema, quindi non l'ho indicato nella soluzione.

    Di che natura è questo punto? Non possiamo dire nulla a partire dal vincolo, quindi dobbiamo calcolare la matrice hessiana di f(x,y):

    \begin{matrix}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=2\\\\\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=2\\\\\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}=0\end{matrix}

    Dunque la matrice hessiana è data da

    H=\left[\begin{matrix}2 & 0\\0 & 2\end{matrix}\right]

    è costante, non dipende da x o da y, quindi la funzione f ha concavità costante, proprio come quando una funzione in una variabile ha derivata seconda costante. Quindi il punto che abbiamo trovato non può che essere un minimo.

    Risposta di Alpha
 
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