Equazione complessa con modulo, potenze e coniugato

Ho un'equazione in campo complesso con i moduli, il coniugato e delle potenze. Mi basterebbe anche solo qualche suggerimento per risolverla:

$|z^3-i|=|(\overline{z})^3+1|$

Grazie in anticipo!

Domanda di safi

Soluzioni

Ciao Safi, un attimo di pazienza e ti rispondo...
Risposta di Omega
Per risolvere l'equazione complessa, un modo di procedere consiste nel procedere con il passaggio alla forma algebrica per z:
quindi, per definizione di coniugato di un numero complesso
$\overline{z}=x-iy$
e calcolare separatamente il modulo dei due numeri complessi, tenendo conto che
$|w|=\sqrt{Re^2(w)+Im^2(w)}$
a questo punto svolgi i calcoli. Se hai dubbi, o se non riesci, chiedi pure!
Namasté - Agente $\Omega$
Risposta di Omega
Anziché sostituire z=x+iy non si potrebbe procedere in altro modo?
Perchè la prof odia questa sostituzione in quanto allunga molto la risoluzione dell'esercizio e non me lo fa valere...
Risposta di safi
Allora: un modo ancora più semplice (credo il più semplice, ma non ci mette la mano sul fuoco) consiste nel ragionare come segue. Osserva che
$\overline{z}^3=\overline{z^3}$
quindi puoi riscrivere l'equazione come
$|z^3-i|=|\overline{z^3}-1|$
poi sostituire
e risolvere l'equazione
$|w-i|=|\overline{w}+1|$
ora sostituisci (e qui è inevitabile!)
trovando
calcola i moduli, troverai un'equazione che ha soluzione
e prosegui. Se dovessi avere difficoltà, avvisami mi raccomando! :)
Risposta di Omega

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