Equazione complessa con modulo, potenze e coniugato

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Ho un'equazione in campo complesso con i moduli, il coniugato e delle potenze. Mi basterebbe anche solo qualche suggerimento per risolverla:

 

|z^3-i|=|(\overline{z})^3+1|

 

Grazie in anticipo!

Domanda di safi

 
Soluzioni

  • Ciao Safi, un attimo di pazienza e ti rispondo...

    Risposta di Omega

  • Per risolvere l'equazione complessa, un modo di procedere consiste nel procedere con il passaggio alla forma algebrica per z:

    z=x+iy

    quindi, per definizione di coniugato di un numero complesso

    \overline{z}=x-iy

    e calcolare separatamente il modulo dei due numeri complessi, tenendo conto che

    |w|=\sqrt{Re^2(w)+Im^2(w)}

    a questo punto svolgi i calcoli. Se hai dubbi, o se non riesci, chiedi pure!

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega

  • Anziché sostituire z=x+iy non si potrebbe procedere in altro modo?

    Perchè la prof odia questa sostituzione in quanto allunga molto la risoluzione dell'esercizio e non me lo fa valere...

    Risposta di safi

  • Allora: un modo ancora più semplice (credo il più semplice, ma non ci mette la mano sul fuoco) consiste nel ragionare come segue. Osserva che

    \overline{z}^3=\overline{z^3}

    quindi puoi riscrivere l'equazione come

    |z^3-i|=|\overline{z^3}-1|

    poi sostituire

    w=z^3

    e risolvere l'equazione

    |w-i|=|\overline{w}+1|

    ora sostituisci (e qui è inevitabile!)

    w=x+iy

    trovando

    |x+i(y-1)|=|(x+1)-iy|

    calcola i moduli, troverai un'equazione che ha soluzione

    y=-x

    e prosegui. Se dovessi avere difficoltà, avvisami mi raccomando! :)

    Risposta di Omega
 
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