Soluzioni
  • Le condizioni di esistenza di un radicale (dette anche CE del radicale) sono le condizioni che deve soddisfare il radicando affinché il radicale abbia significato. Le CE di un radicale dipendono dal suo indice, a seconda che sia un numero pari o un numero dispari.

    • Se l'indice è pari, bisogna imporre che il radicando sia maggiore-uguale a zero.

    • Se l'indice è dispari, il radicale è definito a patto che lo sia il radicando, ossia l'espressione sotto radice.

    Ci rendiamo conto che in questi termini la questione delle CE dei radicali potrebbe sembrare difficile, dunque scendiamo nel dettaglio e consideriamo un radicale qualsiasi

    \sqrt[n]{R(x)}

    dove l'indice n è un numero naturale maggiore di 1 e il radicando R(x) è un'espressione letterale che dipende dalla variabile x, ma che potrebbe tranquillamente dipendere da qualsiasi altra variabile (a, b, c, y, z), non importa quale sia la lettera scelta per indicarla.

    • Se n è un numero pari, per trovare le condizioni di esistenza del radicale si deve imporre R(x) \ge 0, e quindi risolvere la disequazione che ne scaturisce.

    • Se n è un numero dispari, non vi è alcuna condizione di esistenza imposta dalla radice, ma dobbiamo prestare attenzione al radicando in sé e per sé e assicurarci che sia definito in tutto \mathbb{R}. Se così non fosse dovremmo imporre eventuali condizioni di esistenza dettate dal radicando stesso.

    Esempi sulle condizioni di esistenza dei radicali

    1) Calcolare le condizioni di esistenza dei seguenti radicali con indice dispari:

    \sqrt[3]{x+7} \ \ ; \ \ \sqrt[5]{2x-15} \ \ ; \ \ \sqrt[7]{\frac{x+1}{x-1}}

    Svolgimento: gli indici dei tre radicali sono dispari, per cui i radicali non necessitano di condizioni di esistenza relative alle radici. Dobbiamo però assicurarci che i relativi radicandi siano definiti in tutto \mathbb{R}.

    I radicandi dei primi due radicali:

    \sqrt[3]{x+7} \ \ ; \ \ \sqrt[5]{2x-15}

    sono polinomi di primo grado definiti su tutto \mathbb{R}, dunque anche i due radicali sono definiti su tutto \mathbb{R}. In tal caso scriveremo \forall x, dove il simbolo matematico \forall si legge "per ogni", o più precisamente

    \mbox{C.E.}: \ \forall x \in\mathbb{R}

    Il radicando dell'ultimo radicale

    \sqrt[7]{\frac{x+1}{x-1}}

    è invece una frazione algebrica, ed è definita solo se il denominatore è diverso da zero:

    x-1 \neq 0 \ \ \to \ \ x \neq 1

    In definitiva la condizione di esistenza di quest'ultimo radicale è data da

    \mbox{C.E.}: \ x \neq 1

    2) Determinare le condizioni di esistenza del seguente radicale con indice pari

    \sqrt[4]{3x-9}

    Svolgimento: poiché l'indice della radice è un numero pari, per trovare le condizioni di esistenza del radicale dobbiamo imporre che il radicando sia maggiore-uguale a zero

    3x-9 \ge 0

    Risolviamo la disequazione di primo grado che ne scaturisce

    3x-9 \ge 0 \ \ \to \ \ 3x \ge 9\ \ \to \\ \\ \to \ \ x \ge \frac{9}{3} \ \ \to \ \ x \ge 3

    e possiamo asserire che il radicale è definito se e solo se x è maggiore-uguale a 3

    \mbox{C.E.}: \ x \ge 3

    3) Trovare le condizioni di esistenza del radicale

    \sqrt[6]{\frac{x-1}{x+2}}

    Svolgimento: l'indice della radice è 6 ed è un numero pari, dunque imponiamo che il radicando sia maggiore o uguale a zero

    \frac{x-1}{x+2} \ge 0

    e risolviamo la disequazione fratta. Studiamo separatamente i segni di numeratore e denominatore:

    \\ N(x) \ge 0 \ \ \to \ \ x-1 \ge 0 \ \ \to \ \ x \ge 1 \\ \\ D(x) >0 \ \ \to \ \ x+2>0 \ \ \to \ \ x>-2

    Costruiamo la tabella dei segni

    \begin{array}{c|ccccc}&&-2&&1\\ \hline &&&&&\\ x-1&---&-&---&\bullet &+++\\ &&&&&\\ x+2&---&\circ&+++&+&+++\\&&&&& \\ \hline &&&&& \\ \dfrac{x-1}{x+2}&+++&\circ&---&\bullet &+++\end{array}

    e deduciamo che il radicando è:

    - positivo per x<-2 oppure per x>1;

    - negativo per -2<x<1;

    - nullo per x=1.

    A noi interessano gli intervalli in cui il radicando è non negativo (positivo o nullo), per cui le condizioni di esistenza del radicale sono le seguenti

    \mbox{C.E.}: \ x<-2 \ \ \vee \ \ x\ge 1

    Osservazione sulle condizioni di esistenza relative al radicando

    Concludiamo con un'osservazione per evitare fraintendimenti. :)

    \sqrt[n]{R(x)}

    - Nei radicali con indice dispari le CE non dipendono dalla radice e riguardano il radicando in sé e per sé;

    n\mbox{ dispari}\ \to\ R(x)\mbox{ deve esistere}

    - Nei radicali con indice pari le CE dettate dalla radice sul radicando si traducono in una disequazione, in cui il radicando viene posto maggiore-uguale a zero

    n\mbox{ pari}\ \to\ R(x)\geq 0

    La risoluzione della disequazione R(x)\geq 0 ci induce automaticamente a prendere in considerazione le CE del radicando R(x), come d'altronde abbiamo fatto nell'ultimo esempio (abbiamo richiesto che il denominatore non si annullasse nella risoluzione della disequazione fratta).

    ***

    Ci fermiamo qui. Per concludere ti segnaliamo:

    - la lezione di riepilogo sui radicali e sulle proprietà dei radicali;

    - l'approfondimento sulle condizioni di esistenza.

    Risposta di Galois
 
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