Limite fratto con logaritmo e funzioni goniometriche

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Buongiorno in questo limite fratto ho un logaritmo con coseno nell'argomento e un seno a denominatore, posso risolverlo con i limiti notevoli oppure c'è un'altra strada?

 

lim_(x → 0)(log(2-cos(x)))/(sin^2(x)) =

Domanda di giacomo22

 
Soluzioni

  • Arrivo subito giacomo22

    Risposta di Alpha

  • Supponendo che x tenda a zero, si ha che

     

    lim_(x → 0)(log(2-cos(x)))/(sin^2(x)) =

     

    = lim_(x → 0)(log[1+(1-cos(x))])/(sin^2(x)) =

     

    = lim_(x → 0)(1-cos(x))/(sin^2(x)) =

     

    poiché vale il limite notevole

     

    lim_(x → 0)log(1+x) = x

     

    nel nostro caso la x è data da 1-cos(x). Per x tendente a 0 il coseno di x tende a 1, di conseguenza 1-cos(x) tende a zero, quindi possiamo applicare il limite notevole riportato sopra.

     

    Torniamo a noi:

     

    lim_(x → 0)(1-cos(x))/(sin^2(x)) =

     

    = lim_(x → 0)(1-cos(x))/(1-cos^2(x)) =

     

    abbiamo cambiato il denominatore utilizzando la relazione sin2(x)+cos2(x)=1

     

    = lim_(x → 0)(1-cos(x))/((1-cos(x))(1+cos(x))) =

     

    per il prodotto notevole (a2-b2)=(a-b)(a+b).

     

    Semplifichiamo numeratore e denominatore ottenendo

     

    = lim_(x → 0)(1)/(1+cos(x)) = (1)/(2)

     

    poiché cos(0)=1.

     

    Alpha.

    Risposta di Alpha

  • Grazie della risposta. Volevo chiederti quale programma usi per scrivere le risposte nel linguaggio matematico?

    Risposta di giacomo22

  • LaTeX!

    Namasté - Agente Ω in nomine Alphae

    Risposta di Omega
 
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