Esercizio applicazione suriettiva e iniettiva

Ciao,

ho provato a fare degli esercizi sulle applicazioni iniettive e suriettive, potreste correggermeli e dirmi come risolvere quelli che non ho saputo svolgere? Grazie! :)

Devo verificare se queste applicazioni sono biettive e se esiste è possibile costruire la loro inversa.

f: x € R+ -> (3x2)/2 € R+

.

E' iniettiva se f(x1)=f(x2)  implica x1=x2.

f(x1)=(3x12)/2

f(x2)=(3x22)/2 se f(x1)=f(x2) allora (3x12)/2=(3x22)/2

Risolvo l'equazione secondo l'incognita x e trovo che x1=x2, allora l'applicazione è iniettiva

Per dimostrare se è anche suriettiva considero l'applicazione inversa:

y=(3x2)/2

x=√(2y)/3 € R+ allora è anche suriettiva e quindi biettiva.

f:(x,y) x € N* y N* -> xy € N*

E' iniettiva?

x1y =x2y.

Sì perché x1=x2

E' suriettiva? come lo dimostro?

[Testo dell'ultimo esercizio rimosso] Grazie mille!

Domanda di Giulialg88
Soluzioni

Ciao Giulialg88, fra poco ti rispondo..

Risposta di Omega

Premessa: dai un'occhiata alla lezione in cui spieghiamo il metodo per stabilire se una funzione è una funzione iniettiva e/o se è una funzione suriettiva.

"Devo verificare se queste applicazioni sono biettive e se esiste è possibile costruire la loro inversa.

f: x € R+ -> (3x2)/2 € R+

è iniettiva se f(x1)=f(x2) implica x1=x2.

f(x1)=(3x12)/2

f(x2)=(3x22)/2

se f(x1)=f(x2) allora (3x12)/2=(3x22)/2

risolvo l equazione secondo l'incognita x e trovo che x1=x2 allora l applicazione è iniettiva."


L'applicazione non è iniettiva, perchè 

x_(1)^(2) = x_(2)^(2)

(lasciando perdere le costanti che tanto si semplificano)

equivale a

x_(1) = ±x_(2).

"per dimostrare se è anche suriettiva considero l'applicazione inversa

y=(3x2)/2

x=√(2y)/3 € R+

allora è anche suriettiva e quindi biettiva."

Si vede subito che non è suriettiva perchè non puoi ottenere immagini negative (la x è al quadrato). Puoi però renderla suriettiva restringendo il codominio a R^(+).

"f:(x,y) N*x N* -> xy € N*

è iniettiva?

x1y =x2y "

si perchè x1=x2
è suriettiva? come lo dimostro? "


Per vedere se è iniettiva, bisogna imporre che immagini uguali corrispondano alla stessa preimmagine (come hai iniziato tu). La funzione però non è iniettiva: ad esempio basta osservare che 16 ha due preimmagini: (4,2) e (2,4)
16 = 4^2
16 = 2^4
La funzione è suriettiva: basta osservare che con tutte le coppie del tipo (n,1) al variare di n in N* ottieni tutti i numeri naturali diversi da zero (è questo che intende il tuo testo con N* ?).
Per l'ultimo esercizio, potresti aprire come da regolamento una nuova domanda? Grazie!
Namasté - Agente Ω

Risposta di Omega

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