Soluzioni
  • Per prima cosa dobbiamo calcolare i vertici del triangolo, per farlo intersechiamo le rette a due a due. In questo modo ci troveremo a dover risolvere tre sistemi lineari.

     

    \left\{\begin{matrix}x-y+2=0\\x-3=0\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}x-y+2=0\\x=3\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}3-y+2=0\\x=3\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}y=5\\x=3\end{matrix}

    Il primo vertice, chiamiamolo A è il punto (3,5).

     

    \left\{\begin{matrix}x+6y+9=0\\x-3=0\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}x+6y+9=0\\x=3\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}3+6y+9=0\\x=3\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}y=-2\\x=3\end{matrix}

    Il vertice B ha coordinate (3,-2).

     

    \left\{\begin{matrix}x+6y+9=0\\x-y+2=0\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}x+6y+9=0\\x=y-2\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}y-2+6y+9=0\\x=y-2\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}y=-1\\x=y-2\end{matrix}

    \left\{\begin{matrix}y=-1\\x=-3\end{matrix}

    Il vertice C ha coordinate (-3,-1).

     

    Quindi il triangolo ha vertici A=(3,5);\ B=(3,-2);\ C=(-3,-1).

     

    L'asse di un lato del triangolo è quella retta passante per il punto medio del lato e perpendicolare al lato stesso.

     

    Calcoliamo il punto medio di ogni lato:

    M_{(AB)}=\left\{\begin{matrix}\frac{x_A+x_B}{2}\\\frac{y_A+y_B}{2}\end{matrix}

    quindi

    M_{(AB)}=\left\{\begin{matrix}\frac{3+3}{2}\\\frac{5-2}{2}\end{matrix}=(3,\frac{3}{2})

    M_{(AC)}=\left\{\begin{matrix}\frac{3-3}{2}\\\frac{5-1}{2}\end{matrix}=(0,2)

    M_{(BC)}=\left\{\begin{matrix}\frac{3-3}{2}\\\frac{-2-1}{2}\end{matrix}=(0,-\frac{3}{2})

     

    A questo punto calcolando il coefficiente angolare di ogni retta data dal prolungamente dei lati potremo ricavare il coefficiente angolare della sua perpendicolare: useremo la formula

    m_{AC}=\frac{y_A-y_C}{x_A-x_C}

     

    L'unica eccezione: il lato AB sta sulla retta x=3, dunque la retta ad essa perpendicolare sarà del tipo y=k.

     

    Calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante per A e C:

    m_{AC}=\frac{5+1}{3+3}=1

    sappiamo che il coefficiente della retta perpendicolare è dato dal reciproco dell'inverso del coefficiente della retta di partenza, cioè

    m_{\mbox{perp. ad AC}}=-\frac{1}{m_{AC}}=-1

     

    Calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante per B e C:

    m_{BC}=\frac{-2+1}{3+3}=-\frac{1}{6}

    quindi

    m_{\mbox{perp. a BC}}=-\frac{1}{m_{BC}}=6

     

    Ora gli assi sono le rette perpendicolari ai lati passanti per il punto medio, quindi

     

    Asse di AB: cerchiamo la retta del tipo y=k passante per il punto (3,3/2), la scelta è la retta

    y=\frac{3}{2}

     

    Asse di AC: cerchiamo la retta passante per (0,2) con coefficiente angolare -1.

    Per trovarla usiamo la formula per il calcolo della retta passante per un punto

    y-y_0=m(x-x_0)

    y-2=-1\cdot x

    y=-x+2

     

    Asse di BC: il coefficiente angolare è -1/6 e il punto medio di BC è (0,-3/2), quindi

    y-y_0=m(x-x_0)

    y+\frac{3}{2}=6x

    y=6x-\frac{3}{2}

     

    Per mostrare che le rette si intersecano tutte nello stesso punto dobbiamo risolvere i seguenti sistemi:

     

    \left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}\\y=-x+2\end{matrix}

    che ha come risultato

    \left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}\\x=\frac{1}{2}\end{matrix}

     

    \left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}\\y=6x-\frac{3}{2}\end{matrix}

    che ha come risultato

    \left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}\\x=\frac{1}{2}\end{matrix}

     

    \left\{\begin{matrix}y=-x+2\\y=6x-\frac{3}{2}\end{matrix}

    che ha come risultato

    \left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}\\x=\frac{1}{2}\end{matrix} 

    Dunque tutti gli assi si incontrano nel punto \left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right), che è il circocentro del triangolo.

    Risposta di Alpha
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