Equazioni degli assi di un triangolo in Geometria Analitica

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Ragazzi aiutatemi per favore con un problema sugli assi di un triangolo da risolvere con la Geometria Analitica.

 

In un triangolo le equazioni delle rette dei lati sono x-y+2 = 0; x-3 = 0; x+6y+9 = 0.

 

Calcola le equazioni degli assi di tali lati e verifica che passano per uno stesso punto (circocentro) di cui si richiedono le coordinate.

 

Potreste darmi una mano? :)

Domanda di Panzerotta

 
Soluzioni

  • Per prima cosa dobbiamo calcolare i vertici del triangolo, per farlo intersechiamo le rette a due a due. In questo modo ci troveremo a dover risolvere tre sistemi lineari.

     

    x-y+2 = 0 ; x-3 = 0

    x-y+2 = 0 ; x = 3

    3-y+2 = 0 ; x = 3

    y = 5 ; x = 3

    Il primo vertice, chiamiamolo A è il punto (3,5).

     

    x+6y+9 = 0 ; x-3 = 0

    x+6y+9 = 0 ; x = 3

    3+6y+9 = 0 ; x = 3

    y = -2 ; x = 3

    Il vertice B ha coordinate (3,-2).

     

    x+6y+9 = 0 ; x-y+2 = 0

    x+6y+9 = 0 ; x = y-2

    y-2+6y+9 = 0 ; x = y-2

    y = -1 ; x = y-2

    y = -1 ; x = -3

    Il vertice C ha coordinate (-3,-1).

     

    Quindi il triangolo ha vertici A = (3,5); B = (3,-2); C = (-3,-1).

     

    L'asse di un lato del triangolo è quella retta passante per il punto medio del lato e perpendicolare al lato stesso.

     

    Calcoliamo il punto medio di ogni lato:

    M_(AB) = (x_A+x_B)/(2) ; (y_A+y_B)/(2)

    quindi

    M_(AB) = (3+3)/(2) ; (5-2)/(2) = (3,(3)/(2))

    M_(AC) = (3-3)/(2) ; (5-1)/(2) = (0,2)

    M_(BC) = (3-3)/(2) ; (-2-1)/(2) = (0,-(3)/(2))

     

    A questo punto calcolando il coefficiente angolare di ogni retta data dal prolungamente dei lati potremo ricavare il coefficiente angolare della sua perpendicolare: useremo la formula

    m_(AC) = (y_A-y_C)/(x_A-x_C)

     

    L'unica eccezione: il lato AB sta sulla retta x=3, dunque la retta ad essa perpendicolare sarà del tipo y=k.

     

    Calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante per A e C:

    m_(AC) = (5+1)/(3+3) = 1

    sappiamo che il coefficiente della retta perpendicolare è dato dal reciproco dell'inverso del coefficiente della retta di partenza, cioè

    m_(perp. ad AC) = -(1)/(m_(AC)) = -1

     

    Calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante per B e C:

    m_(BC) = (-2+1)/(3+3) = -(1)/(6)

    quindi

    m_(perp. a BC) = -(1)/(m_(BC)) = 6

     

    Ora gli assi sono le rette perpendicolari ai lati passanti per il punto medio, quindi

     

    Asse di AB: cerchiamo la retta del tipo y=k passante per il punto (3,3/2), la scelta è la retta

    y = (3)/(2)

     

    Asse di AC: cerchiamo la retta passante per (0,2) con coefficiente angolare -1.

    Per trovarla usiamo la formula per il calcolo della retta passante per un punto

    y-y_0 = m(x-x_0)

    y-2 = -1·x

    y = -x+2

     

    Asse di BC: il coefficiente angolare è -1/6 e il punto medio di BC è (0,-3/2), quindi

    y-y_0 = m(x-x_0)

    y+(3)/(2) = 6x

    y = 6x-(3)/(2)

     

    Per mostrare che le rette si intersecano tutte nello stesso punto dobbiamo risolvere i seguenti sistemi:

     

    y = (3)/(2) ; y = -x+2

    che ha come risultato

    y = (3)/(2) ; x = (1)/(2)

     

    y = (3)/(2) ; y = 6x-(3)/(2)

    che ha come risultato

    y = (3)/(2) ; x = (1)/(2)

     

    y = -x+2 ; y = 6x-(3)/(2)

    che ha come risultato

    y = (3)/(2) ; x = (1)/(2) 

    Dunque tutti gli assi si incontrano nel punto ((1)/(2),(3)/(2)), che è il circocentro del triangolo.

    Risposta di Alpha
 
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