Equazioni degli assi di un triangolo in Geometria Analitica

Ragazzi aiutatemi per favore con un problema sugli assi di un triangolo da risolvere con la Geometria Analitica.

In un triangolo le equazioni delle rette dei lati sono $x-y+2=0;\ x-3=0;\ x+6y+9=0$ .

Calcola le equazioni degli assi di tali lati e verifica che passano per uno stesso punto (circocentro) di cui si richiedono le coordinate.

Potreste darmi una mano? :)

Domanda di Panzerotta

Soluzioni

Per prima cosa dobbiamo calcolare i vertici del triangolo, per farlo intersechiamo le rette a due a due. In questo modo ci troveremo a dover risolvere tre sistemi lineari.

$\left\{\begin{matrix}x-y+2=0\\x-3=0\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}x-y+2=0\\x=3\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}3-y+2=0\\x=3\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}y=5\\x=3\end{matrix}$

Il primo vertice, chiamiamolo A è il punto (3,5).

$\left\{\begin{matrix}x+6y+9=0\\x-3=0\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}x+6y+9=0\\x=3\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}3+6y+9=0\\x=3\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}y=-2\\x=3\end{matrix}$

Il vertice B ha coordinate (3,-2).

$\left\{\begin{matrix}x+6y+9=0\\x-y+2=0\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}x+6y+9=0\\x=y-2\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}y-2+6y+9=0\\x=y-2\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}y=-1\\x=y-2\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}y=-1\\x=-3\end{matrix}$

Il vertice C ha coordinate .

Quindi il triangolo ha vertici $A=(3,5);\ B=(3,-2);\ C=(-3,-1)$ .

L'asse di un lato del triangolo è quella retta passante per il punto medio del lato e perpendicolare al lato stesso.

Calcoliamo il punto medio di ogni lato:

$M_{(AB)}=\left\{\begin{matrix}\frac{x_A+x_B}{2}\\\frac{y_A+y_B}{2}\end{matrix}$

quindi

$M_{(AB)}=\left\{\begin{matrix}\frac{3+3}{2}\\\frac{5-2}{2}\end{matrix}=(3,\frac{3}{2})$

$M_{(AC)}=\left\{\begin{matrix}\frac{3-3}{2}\\\frac{5-1}{2}\end{matrix}=(0,2)$

$M_{(BC)}=\left\{\begin{matrix}\frac{3-3}{2}\\\frac{-2-1}{2}\end{matrix}=(0,-\frac{3}{2})$

A questo punto calcolando il coefficiente angolare di ogni retta data dal prolungamente dei lati potremo ricavare il coefficiente angolare della sua perpendicolare: useremo la formula

$m_{AC}=\frac{y_A-y_C}{x_A-x_C}$

L'unica eccezione: il lato AB sta sulla retta x=3, dunque la retta ad essa perpendicolare sarà del tipo y=k.

Calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante per A e C:

$m_{AC}=\frac{5+1}{3+3}=1$

sappiamo che il coefficiente della retta perpendicolare è dato dal reciproco dell'inverso del coefficiente della retta di partenza, cioè

$m_{\mbox{perp. ad AC}}=-\frac{1}{m_{AC}}=-1$

Calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante per B e C:

$m_{BC}=\frac{-2+1}{3+3}=-\frac{1}{6}$

quindi

$m_{\mbox{perp. a BC}}=-\frac{1}{m_{BC}}=6$

Ora gli assi sono le rette perpendicolari ai lati passanti per il punto medio, quindi

Asse di AB: cerchiamo la retta del tipo y=k passante per il punto (3,3/2), la scelta è la retta

$y=\frac{3}{2}$

Asse di AC: cerchiamo la retta passante per (0,2) con coefficiente angolare -1.

Per trovarla usiamo la formula per il calcolo della retta passante per un punto

$y-2=-1\cdot x$

Asse di BC: il coefficiente angolare è -1/6 e il punto medio di BC è (0,-3/2), quindi

$y+\frac{3}{2}=6x$

$y=6x-\frac{3}{2}$

Per mostrare che le rette si intersecano tutte nello stesso punto dobbiamo risolvere i seguenti sistemi:

$\left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}\\y=-x+2\end{matrix}$

che ha come risultato

$\left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}\\x=\frac{1}{2}\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}\\y=6x-\frac{3}{2}\end{matrix}$

che ha come risultato

$\left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}\\x=\frac{1}{2}\end{matrix}$

$\left\{\begin{matrix}y=-x+2\\y=6x-\frac{3}{2}\end{matrix}$

che ha come risultato

$\left\{\begin{matrix}y=\frac{3}{2}\\x=\frac{1}{2}\end{matrix}$

Dunque tutti gli assi si incontrano nel punto $\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)$ , che è il circocentro del triangolo.

Risposta di Alpha