Soluzioni
  • Il nostro obiettivo prevede di determinare il valore di k reale così che le rette di equazione

    r: (k-2)x+k y-1 = 0 e s: 2x-k y+2 = 0

    abbiano come intersezione un punto A che giace sull'asse x.

    Poiché il punto A giace sull'asse x, allora avrà coordinate

    A = (x_A, 0)

    Essendo A il punto di intersezione tra le due rette, esso deve appartenere ad entrambe, pertanto le sue coordinate devono soddisfare sia l'equazione della retta r che l'equazione della retta s: stiamo per utilizzare quella che prende il nome di condizione di appartenenza.

    La condizione di appartenenza afferma essenzialmente che un punto appartiene ad una retta se e solo se le coordinate del punto soddisfano l'equazione che definisce la retta.

    Possiamo pertanto scrivere

     A∈ r ⇔ (k-2)x_(A)+k·0-1 = 0 ⇒ (k-2)x_(A)-1 = 0 ; A∈ s ⇔ 2 x_(A)-k·0+2 = 0 ⇒ 2x_(A)-2 = 0

    Naturalmente entrambe le condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente, pertanto esse devono essere inserite in un sistema

    (k-2)x_(A)-1 = 0 ; 2 x_(A)+2 = 0

    Determiniamo x_A da entrambe le equazioni di primo grado.

    Per k ne 2

    (k-2)x_(A) = 1 ; 2x_(A) = -2 ⇒ x_(A) = (1)/(k-2) ; x_(A) = -1

    Dalla prima equazione scopriamo che

    x_(A) = (1)/(k-2)

    e dalla seconda scopriamo invece

    x_(A) = -1

    I primi membri delle due equazioni coincidono, pertanto dovranno essere uguali anche i secondi membri:

    (1)/(k-2) = -1

    Abbiamo ottenuto un'equazione fratta di primo grado, che però ancora non è in forma normale.

    Portiamo -1 al primo membro, stando attenti al segno

    (1)/(k-2)+1 = 0

    Scriviamo il primo membro sotto forma di un'unica frazione algebrica.

    (1+k-2)/(k-2) = 0 ⇔ (k-1)/(k-2) = 0

    Attenzione: dobbiamo ricordarci di porre le condizioni di esistenza per le frazioni algebriche, che in questo caso è

    k-2 ne 0 ⇔ k ne 2

    Bene, fatto ciò possiamo cancellare il denominatore dall'equazione e considerare l'equazione

    k-1 = 0 ⇒ k = 1

    Che è accettabile perché rispetta la condizione di esistenza imposta.

    In definitiva k = 1.

    Risposta di Ifrit
 
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