Parametro per intersezione di due rette sull'asse x

Un esercizio mi chiede di determinare il valore di un parametro k di modo che l'intersezione di due rette sia un punto appartenente all'asse x. Più precisamente il testo dell'esercizio è il seguente:

 

determina il valore di k affinché il punto di intersezione delle seguenti rette sia sull'asse delle ascisse:

 

(k-2)x+k y-1=0,\ 2x-ky+2=0

 

Come posso procedere?

In Superiori - Geometria - Domanda di Gego xD

Soluzioni

  • Il nostro obiettivo prevede di determinare il valore di k reale così che le rette di equazione

    r:\ (k-2)x+k y-1=0\mbox{ e }s:\ 2x -k y+2=0

    abbiano come intersezione un punto A che giace sull'asse x.

    Poiché il punto A giace sull'asse x, allora avrà coordinate

    A=(x_A, 0)

    Essendo A il punto di intersezione tra le due rette, esso deve appartenere ad entrambe, pertanto le sue coordinate devono soddisfare sia l'equazione della retta r che l'equazione della retta s: stiamo per utilizzare quella che prende il nome di condizione di appartenenza.

    La condizione di appartenenza afferma essenzialmente che un punto appartiene ad una retta se e solo se le coordinate del punto soddisfano l'equazione che definisce la retta.

    Possiamo pertanto scrivere

    \\ A\in r\iff (k-2)x_{A}+k\cdot 0-1=0\implies (k-2)x_{A}-1=0\\ \\ A\in s\iff 2 x_{A}-k\cdot 0+2=0\implies 2x_{A}-2=0

    Naturalmente entrambe le condizioni devono essere soddisfatte contemporaneamente, pertanto esse devono essere inserite in un sistema

    \begin{cases}(k-2)x_{A}-1=0\\ 2 x_{A}+2=0\end{cases}

    Determiniamo x_A da entrambe le equazioni di primo grado.

    Per k\ne 2

    \begin{cases}(k-2)x_{A}=1\\ 2x_{A}=-2\end{cases}\implies \begin{cases}x_{A}=\frac{1}{k-2}\\ x_{A}=-1\end{cases}

    Dalla prima equazione scopriamo che

    x_{A}=\frac{1}{k-2}

    e dalla seconda scopriamo invece

    x_{A}=-1

    I primi membri delle due equazioni coincidono, pertanto dovranno essere uguali anche i secondi membri:

    \frac{1}{k-2}=-1

    Abbiamo ottenuto un'equazione fratta di primo grado, che però ancora non è in forma normale.

    Portiamo -1 al primo membro, stando attenti al segno

    \frac{1}{k-2}+1=0

    Scriviamo il primo membro sotto forma di un'unica frazione algebrica.

    \frac{1+k-2}{k-2}=0\iff \frac{k-1}{k-2}=0

    Attenzione: dobbiamo ricordarci di porre le condizioni di esistenza per le frazioni algebriche, che in questo caso è

    k-2\ne 0\iff k\ne 2

    Bene, fatto ciò possiamo cancellare il denominatore dall'equazione e considerare l'equazione

    k-1=0\implies k=1

    Che è accettabile perché rispetta la condizione di esistenza imposta.

    In definitiva k=1.

    Risposta di Ifrit
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