Calcolo degli asintoti di una funzione
Buonasera amici-nemici della Matematica! Mi ritrovo a dover calcolare i limiti per gli asintoti di una funzione: f(x) = [sqrt(x)] / [1+log(x)].
Di questa funzione si richiedono gli asintoti (orizzontale, verticale, obliquo) ed inoltre si richiede di stabilire se f è prolungabile per continuità.
Sono riuscito a calcolare solo l'asintoto orizzontale, che non esiste! Quelli verticale e obliquo purtroppo non sono riusciuto a calcolarli, mi potete aiutare?
Non essendo riuscito a calcolare l'asintoto verticale, non posso verficare se è prolungabile per continuità!
Se potete aiutarmi... :) Grazie mille!
Bentrovato Xxavy92, mi accingo or ora a risponderti :)
Risposta di Omega
Immagino che il problema della funzione stia tutto nel punto x=0, in cui domandi se possiamo prolungare
con continuità.
Prima di tutto: dominio. Dobbiamo mettere a sistema
Troviamo:
Passiamo direttamente agli asintoti:
- non c'è nessun asintoto obliquo (l'unico controllo va fatto per x tendente a + infinito)
- asintoti verticali (discontinuità di seconda specie)
- in un intorno destro di x=0 succede qualcosa di molto interessante, infatti
ma la funzione non è definita in x=0. La definiamo noi, e diciamo che in x=0 vale 0. L'abbiamo prolungata con continuità (ma a sinistra non c'è molto da fare, la funzione non è definita).
In sintesi: la funzione non è prolungabile con continuità, ma è prolungabile con continuità da destra.
Namasté - Agente 
Risposta di Omega
Ma quello che non sono riuscito a risolvere è proprio lim di x-->0+! Non ci riesco analiticamente!
Mi esce la formainderterminata 0 + infinito.
E poi... scusami 1/e tende a + o - infinito? Grazie ancora! =)
Risposta di xxavy92
Oddio Scusami per tutte le risposte postate! :S
Pensavo non stesse postando... era in perenne caricamento... scusami ancora...
:S
Risposta di xxavy92
Per il limite per 
, ti basta osservare che è un rapporto del tipo
semplicemente applicando regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.
Per quanto riguarda l'asintoto verticale, a sinistra di 1/e tende a - infinito, a destra a + infinito...
Risposta di Omega