Soluzioni
  • La richiesta equivale a stabilire se vale la seguente identità trigonometrica

    - \frac{\cos (x) + \sin^4(x) - \cos^2(x)\sin^2(x)}{sin^2(x)}=-\frac{2\sin^2(x)\cos^2(x) + \cos (x) - \sin^2(x)}{\sin^2(x)}

    I denominatori sono uguali, quindi possiamo ridurci a controllare la validità della seguente identità (tolgo anche i segni meno)

    \cos (x) + \sin^4(x) - \cos^2(x)\sin^2(x)=2\sin^2(x)\cos^2(x) + \cos (x) - \sin^2(x)

    Il coseno è ripetuto con lo stesso segno sia a destra che a sinistra, quindi possiamo toglierlo da entrambi i membri dell'uguaglianza:

    \sin^4(x) - \cos^2(x)\sin^2(x)=2\sin^2(x)\cos^2(x)  - \sin^2(x)

    Quindi le due espressioni da te riportate sono uguali solo quando è verificata l'uguaglianza che abbiamo appena scritto.

    Il probema è che quelle due espressioni non sono sempre uguali (ossia non sono uguali per ogni valore di x, come richiederebbe un'identità); sono identiche solo quando

    x=k\pi \vee x=-\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}

    al variare di k nell'insieme dei numeri relativi. In sostanza l'uguaglianza tra le due espressioni non sussiste se non in due punti, (i termini con la k indicano solo la periodicità delle funzioni seno e coseno).

    La morale è che è impossibile trasformare il termine a destra dell'uguale in quello di sinistra senza alterarne almeno uno. Puoi provare tu stesso, anche usando l'identità fondamentale della Trigonometria (vedi le formule goniometriche)

    \sin^{2}(x)+\cos^2(x)=1

    non riuscirai mai a rendere uguali i due termini. Quindi la tua trasformazione...non si può fare.

    Risposta di Alpha
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