Come trasformare un'espressione trigonometrica

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Salve, potrei sapere come si trasforma questa espressione goniometrica e quali formule goniometriche usare per farlo? Grazie!

 

-(cos (x)+sin^4(x)-cos^2(x)sin^2(x))/(sin^2(x))

 

E' possibile trasformare la precedente espressione in

 

-(2sin^2(x)cos^2(x)+cos (x)-sin^2(x))/(sin^2(x))

 

? Grazie ancora!

Domanda di Fabio1993

 
Soluzioni

  • La richiesta equivale a stabilire se vale la seguente identità trigonometrica

    -(cos (x)+sin^4(x)-cos^2(x)sin^2(x))/(sin^2(x)) = -(2sin^2(x)cos^2(x)+cos (x)-sin^2(x))/(sin^2(x))

    I denominatori sono uguali, quindi possiamo ridurci a controllare la validità della seguente identità (tolgo anche i segni meno)

    cos (x)+sin^4(x)-cos^2(x)sin^2(x) = 2sin^2(x)cos^2(x)+cos (x)-sin^2(x)

    Il coseno è ripetuto con lo stesso segno sia a destra che a sinistra, quindi possiamo toglierlo da entrambi i membri dell'uguaglianza:

    sin^4(x)-cos^2(x)sin^2(x) = 2sin^2(x)cos^2(x)-sin^2(x)

    Quindi le due espressioni da te riportate sono uguali solo quando è verificata l'uguaglianza che abbiamo appena scritto.

    Il probema è che quelle due espressioni non sono sempre uguali (ossia non sono uguali per ogni valore di x, come richiederebbe un'identità); sono identiche solo quando

    x = kπ ∨ x = -(π)/(4)+(kπ)/(2)

    al variare di k nell'insieme dei numeri relativi. In sostanza l'uguaglianza tra le due espressioni non sussiste se non in due punti, (i termini con la k indicano solo la periodicità delle funzioni seno e coseno).

    La morale è che è impossibile trasformare il termine a destra dell'uguale in quello di sinistra senza alterarne almeno uno. Puoi provare tu stesso, anche usando l'identità fondamentale della Trigonometria (vedi le formule goniometriche)

    sin^(2)(x)+cos^2(x) = 1

    non riuscirai mai a rendere uguali i due termini. Quindi la tua trasformazione...non si può fare.

    Risposta di Alpha
 
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