Soluzioni
  • Possiamo tranquillamente avvalerci della regola di Ruffini per stabilire se il polinomio

    P(x)=-2x^2-8x+3

    sia esprimibile come prodotto di polinomi a coefficienti razionali. Sia chiaro però che il ragionamento che segue vale esclusivamente per i polinomio di secondo grado: non ha valenza generale!

    Perché solo polinomi di secondo grado? Perché nell'ambito delle scomposizioni con polinomi a coefficienti razionali, sono gli unici che si possono scomporre come prodotto di esattamente due binomi di primo grado (eventualmente uguali), oppure sono irriducibili.

    Questa loro caratteristica fa sì che se non vale il teorema delle radici razionali, allora non si possono esprimere come prodotto di polinomi a coefficienti razionali.

    Il teorema delle radici razionali asserisce che ogni radice razionale - se esiste - di un polinomio a coefficienti interi è della forma \frac{p}{q}, dove:

    - il numeratore p è un divisore intero del termine noto;

    - il denominatore q è un divisore del coefficiente direttivo.

    In pratica, ecco quello che dobbiamo fare: elenchiamo i divisori interi del termine noto 3

    \mbox{Divisori interi di }3=\{\pm 1, \ \pm 3\}

    elenchiamo i divisori del coefficiente del termine di grado massimo, ossia -2

    \mbox{Divisori interi di }-2=\{\pm 1, \ \pm 2\}

    e infine costruiamo l'insieme delle frazioni aventi per numeratori i divisori di 3 e per denominatori i divisori di -2

    \left\{\pm 1, \ \pm 3, \ \pm\frac{1}{2}, \ \pm\frac{3}{2}\right\}

    A questo punto procediamo con le valutazioni del polinomio, ossia rimpiazziamo al posto delle x di P(x) ciascun elemento dell'insieme e ci atteniamo alla seguente regola:

    se esiste un elemento dell'insieme che annulla il polinomio, allora si può decomporre con la regola di Ruffini; in caso contrario il polinomio non è esprimibile come prodotto di polinomi a coefficienti razionali di grado inferiore.

    Calcoliamo uno alla volta le valutazioni, prestando la massima attenzione ai calcoli e applicando a dovere le proprietà delle potenze quando servono.

    La valutazione del polinomio per x=-1 è P(-1)=9, infatti:

    P(-1)=-2\cdot(-1)^2-8\cdot(-1)+3=-2+8+3=9

    La valutazione del polinomio per x=1 è P(1)=-7, infatti:

    P(1)=-2\cdot 1^2-8\cdot 1+3=-2-8+3=-7

    La valutazione del polinomio per x=-3 è P(-3)=9, infatti:

    P(-3)=-2\cdot (-3)^2-8(-3)+3=-18+24+3=9

    La valutazione del polinomio per x=3 è P(3)=-39, infatti:

    P(3)=-2\cdot 3^2-8\cdot 3+3=-2\cdot 9-24+3=-18-24+3=-39

    La valutazione del polinomio per x=-\frac{1}{2} è P\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{13}{2}, infatti:

    \\ P\left(-\frac{1}{2}\right)=-2\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2-8\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)+3= \\ \\ \\ = -2\cdot\frac{1}{4}+4+3=-\frac{1}{2}+7=\frac{13}{2}

    La valutazione del polinomio per x=\frac{1}{2} è P\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}, infatti:

    \\ P\left(\frac{1}{2}\right)=-2\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2-8\cdot\left(\frac{1}{2}\right)+3=\\ \\ \\ =-2\cdot\frac{1}{4}-4+3=-\frac{1}{2}-1=-\frac{3}{2}

    La valutazione del polinomio per x=-\frac{3}{2} è P\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{21}{2}, infatti:

    \\ P\left(-\frac{3}{2}\right)=-2\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)^2-8\cdot\left(-\frac{3}{2}\right)+3=\\ \\ \\ =-2\cdot\frac{9}{4}+12+3=-\frac{9}{2}+15=\frac{21}{2}

    La valutazione del polinomio per x=\frac{3}{2} è P\left(\frac{3}{2}\right)=-\frac{27}{2}, infatti:

    \\ P\left(-\frac{27}{2}\right)=-2\cdot\left(\frac{3}{2}\right)^2-8\cdot\left(\frac{3}{2}\right)+3=\\ \\ \\ =-2\cdot\frac{9}{4}-12+3=-\frac{9}{2}-9=-\frac{27}{2}

    Tutte le valutazioni calcolate sono diverse da zero, di conseguenza il polinomio di secondo grado P(x) non è fattorizzabile come prodotto di polinomi a coefficienti razionali.

    Abbiamo finito.

     

    Approfondimento per chi ha studiato le equazioni di secondo grado

    Un polinomio di secondo grado con discriminante non negativo può sempre essere scomposto come prodotto di polinomi a coefficienti reali secondo la regola:

    ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)

    dove a è il coefficiente di x^2 mentre x_1\ \mbox{e} \ x_2 sono le soluzioni dell'equazione di secondo grado

    ax^2+bx+c=0

    Nel caso in esame, le soluzioni dell'equazione 

    P(x)=0\ \ \ \to \ \ \ -2x^2-8x+3=0

    sono

    x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{22}}{2}

    pertanto il polinomio si scompone come

    -2x^2-8x+3=-2\left(x-\frac{-4-\sqrt{2}}{2}\right)\left(x-\frac{-4+\sqrt{22}}{2}\right)

    Sia chiaro che non vi è alcuna contraddizione: la riducibilità o meno di un polinomio dipende fondamentalmente dall'insieme numerico cui devono appartenere i coefficienti dei fattori.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Algebra Lineare