Soluzioni
  • Ciao Xavier310, un istante e arrivo a risponderti.

    Risposta di Omega
  • Allora:

    per darti un'idea del perchè se v0 è una soluzione del sistema lineare e w è una soluzione del sistema omogeneo Ax=0, è naturale che v0+w sia una soluzione del sistema lineare stesso Ax=b. Infatti

    A(v_{0}+w)=Av_{0}+Aw=Av_{0}+0=Av_{0}=b

    Il punto delicato da dimostrare è che tutte e sole le soluzioni sono di questa forma. Per questo, ti rimando alla dimostrazione del teorema del tuo libro di testo, non esiste una spiegazione più semplice della dimostrazione stessa.

    La scrittura

    T:V\rightarrow W

    si legge come "T che manda V in W".

    I punti (i) e (ii) sono rispettivamente la linearità per somma (l'immagine mediante un'app. lin. della somma è uguale alla somma delle immagini) e alla linearità per prodotto per uno scalare, anche detta omogeneità (l'immagine mediante una applicazione lineare del prodotto di un vettore per uno scalare è uguale al prodotto dello scalare per l'immagine del vettore).

    "Graficamente" in Algebra lineare significa: "ho voglia di capire veramente come funziona la faccenda", e quindi...mettiamoci nel piano o nello spazio

    (i) se disegni due vettori e ne fai la somma (con la regola del parallelogramma) ottieni un nuovo vettore. La linearità per somma ti dice che l'immagine del vettore risultante è proprio uguale alla somma dei vettori dati dalle immagini dei singoli vettori. Ossia: somma prima o somma dopo, non cambia nulla.

    (ii) moltiplicare un vettore per uno scalare vuol dire allungarlo o contrarlo in lunghezza. La linearità per prodotto per uno scalare, od omogeneità, ti dice che fare l'immagine di un vettore allungato/contratto oppure allungare/contrarre l'immagine del vettore è la stessa cosa.

    Namasté - Agente \Omega

    Risposta di Omega
  • Ma questo "teorema di struttura" che in termini pratici ci dice  che tutte e sole le soluzioni sono di questa forma, come lo utilizzeremo nello studio delle applicazioni lineari, ossia a cosa servirà?

    Risposta di xavier310
  • Un semplice esempio che ti farà capire quanto in là si può arrivare:

    "l'insieme delle soluzioni di un'equazione differenziale lineare non omogenea a coefficienti costanti è dato da tutte e sole le soluzioni della forma: soluzione particolare dell'equazione (leggi v0) + soluzioni dell'equazione omogenea associata (leggi w)"

    Risposta di Omega
  • Ma con la lettera T definiamo un nuovo spazio vettoriale o un operazione? Cioè cos'è T?

    E con nucleo e immagine di T cosa intendiamo analiticamente e "graficamente"?

    Risposta di xavier310
  • T è l'applicazione lineare: una funzione che gode delle proprietà (i) e (ii).

    Il nucleo di un'applicazione lineare è geometricamente un sottospazio del dominio (qui non si può dire a priori graficamente cosa sia), analiticamente è l'insieme dei vettori che vengono mandati in zero mediante dall'applicazione (che hanno immagine = zero mediante T).

    L'immagine di un'applicazione lineare invece analiticamente è un sottospazio dello spazio di arrivo; graficamente anche qui nulla si può dire a priori, tutto dipende dall'applicazione lineare.

    Risposta di Omega
  • Un esempio di tutti questi concetti sulle applicazioni lineari può essere applicato al piano cartesiano considerato come lo spazio vettoriale R2? (nucleo origine degl'assi, dominio=asse delle x, codominio asse delle y, ecc...)?

    Risposta di xavier310
  • Occhio, occhio...!!! Laughing

    Un'applicazione lineare T NON è uno spazio vettoriale, MA AGISCE UNO SPAZIO VETTORIALE.

    Un esempio di applicazione lineare T definita su R2:

    T:(x,y)\rightarrow (-x,y)

    che effettua una riflessione rispetto all'asse delle y. Che ha nucleo banale, infatti (-x,y)=0 se e solo se x=0=y e quindi è iniettiva. Che ha immagine R2 perchè, dal teorema di nullità più rango, è anche suriettiva.

    Risposta di Omega
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