limite di una funzione esponenziale

Potete aiutarmi con questo limite facendomi tutti i passaggi fino alla soluzione?

                                                                                                                       

limx-->0_(1+x3)1/((x^2+1)^4-1)


Domanda di mery
Soluzioni

Grazie per aver aperto una nuova domanda.

Un attimo di paazienza e ti rispondo

Risposta di Omega

Come calcoliamo questo limite? Ci servono tre ingredienti:

- un barbatrucco algebrico;

- un limite notevole;

- un altro limite notevole;

- un conticino algebrico;

Qui parliamo di una forma di indecisione, e ti consiglio la lettura di questo articolo: non te ne pentirai...

Prima di tutto, riscriviamo la funzione con l'identità y=eln(y), è il barbatrucco algebrico

(1+x^3)^((1)/((x^2+1)^4−1)) = e^(ln(((1+x^3)^((1)/((x^2+1)^4−1)))))

usiamo una ben nota proprietà dei logaritmi

= e^((1)/((x^2+1)^4−1)ln(1+x^3))

primo limite notevole: per x tendente a zero

ln(1+x^3) ~ x^3

un altro limite notevole: per x tendente a zero

(x^2+1)^4−1 ~ 4x^2

sostituiamo il tutto, ossia: possiamo equivalentemente calcolare il limite di

e^((x^3)/(4x^2)) = e^((x)/(4))

che per x tendente a zero vale 1.

Namasté - Agente Ω

Risposta di Omega

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