limite di una funzione esponenziale

Potete aiutarmi con questo limite facendomi tutti i passaggi fino alla soluzione?

lim_{x-->0_}(1+x³)^{1/((x^2+1)^4-1)}

In Uni - Analisi - Domanda di mery

Soluzioni

Grazie per aver aperto una nuova domanda.
Un attimo di paazienza e ti rispondo
Risposta di Omega
Come calcoliamo questo limite? Ci servono tre ingredienti:
- un barbatrucco algebrico;
- un limite notevole;
- un altro limite notevole;
- un conticino algebrico;
Qui parliamo di una forma di indecisione, e ti consiglio la lettura di questo articolo: non te ne pentirai...
Prima di tutto, riscriviamo la funzione con l'identità y=e^ln(y), è il barbatrucco algebrico
$(1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}=e^{\ln{\left((1+x^3)^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}}\right)}}$
usiamo una ben nota proprietà dei logaritmi
$=e^{\frac{1}{(x^2+1)^4-1}\ln{\left(1+x^3\right)}}$
primo limite notevole: per x tendente a zero
$\ln{(1+x^3)}\sim x^3$
un altro limite notevole: per x tendente a zero
$(x^2+1)^4-1\sim 4x^2$
sostituiamo il tutto, ossia: possiamo equivalentemente calcolare il limite di
$e^{\frac{x^3}{4x^2}}=e^{\frac{x}{4}}$
che per x tendente a zero vale 1.
Namasté - Agente $\Omega$
Risposta di Omega

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