Soluzioni
  • Si dice spigolo del cubo un qualsiasi lato dei sei quadrati che delimitano il cubo. In un cubo sono presenti 12 spigoli e sono tutti congruenti tra loro.

     

    Spigolo cubo

    Spigolo L di un cubo

     

    Formule per lo spigolo del cubo

    Per calcolare la misura dello spigolo di un cubo si possono usare tutte le formule dirette che elencheremo tra un istante; starà a voi scegliere, di volta in volta, quale formula usare a seconda dei dati che avrete a disposizione.

    Specifichiamo la corrispondenza tra nomi e simboli che useremo: L è lo spigolo del cubo, d la diagonale di base (diagonale di uno dei quadrati che formano le facce del cubo), D la diagonale del cubo, V il volume, S_{tot} l'area della superficie totale, S_{lat} l'area della superficie laterale, S_{b} l'area della superficie di base, R il raggio della sfera circoscritta, r il raggio della sfera inscritta nel cubo.

     

    Lato del cubo con il volume

    L=\sqrt[3]{V}

    Lato del cubo con la superficie totale

    L=\sqrt{\frac{S_{tot}}{6}}

    Lato del cubo con la superficie laterale

    L=\sqrt{\frac{S_{lat}}{4}}

    Lato del cubo con la superficie di base

    L=\sqrt{S_{b}}

    Lato del cubo con la diagonale

    L=\frac{D}{\sqrt{3}}

    Lato del cubo con la diagonale di base

    L=\frac{d}{\sqrt{2}}

    Lato del cubo con il raggio della circonferenza inscritta

    L=2r

    Lato del cubo con il raggio della circonferenza circoscritta

    L=\frac{2R}{\sqrt{3}}

     

    Sebbene siano semplici, le formule per lo spigolo del cubo sono davvero tante ed è inutilmente faticoso impararle tutte a memoria. Il consiglio che possiamo darvi è quello di affidarvi al ragionamento; in questo modo noterete facilmente che molte delle formule possono essere dedotte dalle proprietà di cui gode questo solido platonico.

    A tal proposito, per leggere tutte le caratteristiche e le proprietà del cubo e per una tabella con tutte le formule, vi rimandiamo alla pagina del link.

    Esercizi svolti sullo spigolo del cubo

    Vi proponiamo una serie di esercizi completamente svolti e commentati sul calcolo dello spigolo del cubo. Ve ne mostreremo uno per tipo, passando in rassegna le formule elencate in tabella e svolgendo tutti i calcoli necessari.

    Calcolo spigolo cubo dal volume

    Il volume del cubo si ottiene elevando la misura dello spigolo alla terza, quindi per trovare la misura dello spigolo si deve estrarre la radice terza del volume.

    L=\sqrt[3]{V}

    Esempio

    Calcolare la misura dello spigolo di un cubo sapendo che il suo volume è di 27 metri cubi.

    L=\sqrt[3]{V}=\sqrt[3]{27 \mbox{ m}^3} = 3 \mbox{ m}

    Calcolo spigolo cubo dalla superficie totale

    La superficie totale di un cubo è data dalla somma delle superfici delle sei facce che delimitano il cubo, che sono sei quadrati congruenti tra loro. Di conseguenza per trovare la misura dello spigolo basta dividere la superficie totale per 6, così da trovare l'area di uno dei quadrati, per poi estrarre la radice quadrata.

    L=\sqrt{\frac{S_{tot}}{6}}

    Esempio

    La superficie totale di un cubo è di 150 metri quadrati; determinare la misura dello spigolo

    L=\sqrt{\frac{S_{tot}}{6}} = \sqrt{\frac{150 \mbox{ m}^2}{6}} = \sqrt{25 \mbox{ m}^2} = 5 \mbox{ m}

    Calcolo spigolo cubo dalla superficie laterale

    Se è nota la misura della superfice laterale, per calcolare la lunghezza dello spigolo si deve dividere la superficie laterale per 4 ed estrarre la radice quadrata

    L=\sqrt{\frac{S_{lat}}{4}}

    Esempio

    Trovare la misura dello spigolo di un cubo sapendo che la sua superficie laterale è di 144 centimetri quadrati.

    L=\sqrt{\frac{S_{lat}}{4}}=\sqrt{\frac{144 \mbox{ cm}^2}{4}}=\sqrt{36 \mbox{ cm}^2} = 6 \mbox{ cm}

    Calcolo spigolo cubo dalla superficie di base

    Per determinare lo spigolo dalla superficie di base basta estrarne la radice quadrata

    L=\sqrt{S_{b}}

    La superficie di base è infatti la misura dell'area del quadrato alla base del cubo, quindi trovare lo spigolo dall'area di base equivale a calcolare la misura del lato di un quadrato di cui è nota l'area.

    Esempio

    L'area di base di un cubo è di 81 decimetri quadrati; quanto misura il suo spigolo?

    L=\sqrt{81 \mbox{ dm}^2} = 9 \mbox{ dm}

    Calcolo spigolo cubo dalla diagonale

    Per calcolare la misura dello spigolo dalla lunghezza della diagonale si deve dividere la diagonale del cubo per la radice quadrata di 3.

    L=\frac{D}{\sqrt{3}}

    Se invece della diagonale del cubo è nota la misura della diagonale del quadrato di base, si può risalire alla misura dello spigolo dividendo la misura della diagonale di base per la radice quadrata di 2

    L=\frac{d}{\sqrt{2}}

    Esempio

    Calcolare la lunghezza dello spigolo di un cubo sapendo che la sua diagonale misura 4√3 centimetri.

    L=\frac{D}{\sqrt{3}}=\frac{4\sqrt{3} \mbox{ cm}}{\sqrt{3}}=4 \mbox{ cm}

    Calcolo spigolo cubo inscritto e circoscritto

    Un cubo si può sempre inscrivere e circoscrivere a una sfera.

    - Se è nota la misura del raggio della sfera inscritta nel cubo, la lunghezza dello spigolo è il doppio della misura del raggio

    L=2r

    - Se si conosce la lunghezza del raggio della sfera circoscritta si può ricavare la misura dello spigolo dividendo il doppio del raggio per la radice quadrata di 3

    L=\frac{2R}{\sqrt{3}}

    Esempio

    Un cubo è circoscritto a una sfera il cui raggio è di 5,2 decimetri. Quanto misura lo spigolo del cubo?

    Il testo del problema ci fornisce la misura del raggio della circonferenza inscritta nel cubo, quindi la misura dello spigolo si ottiene moltiplicando per 2 la lunghezza del raggio

    L=2r = 2 \times (5,2 \mbox{ dm}) = 10,4 \mbox{ dm}

    ***

    Per altri esercizi svolti sul cubo con cui continuare ad allenarvi potete consultare la pagina dell'omonimo link.

    Risposta di Galois
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