Soluzioni
  • Il perimetro dell'ottagono è dato dalla somma delle misure dei suoi lati. Se l'ottagono è regolare allora ha otto lati congruenti, quindi il perimetro si può calcolare moltiplicando la lunghezza del lato per 8.

    Per l'ottagono irregolare non esistono formule specifiche, ma potrebbe essere utile scomporlo in poligoni che ci permettano di risalire alla misura degli otto lati mediante opportune formule.

     

    Perimetro ottagono

    Perimetro ottagono regolare = 8L

     

    Formule per il perimetro dell'ottagono

    Un ottagono regolare ha 8 lati congruenti, quindi per calcolarne il perimetro basta moltiplicare la lunghezza del lato per 8.

    Esistono, tuttavia, altre formule dirette per il calcolo del perimetro di un ottagono regolare. Le abbiamo riportate qui di seguito utilizzando i seguenti simboli: 2p per il perimetro, A per l'area, L per il lato, a per l'apotema (raggio della circonferenza inscritta) e f per il numero fisso.

     

    Perimetro dell'ottagono con il lato

    2p=8L

    Perimetro dell'ottagono e apotema e numero fisso (f=1,207)

    2p=\frac{8a}{f}

    Perimetro dell'ottagono con area e apotema

    2p=\frac{2A}{a}

     

    Precisiamo che abbiamo riportato le precedenti formule per spirito di completezza, e che è davvero superfluo ricordarle a memoria, perché per calcolare il perimetro di un poligono regolare basta moltiplicare la lunghezza del lato per il numero dei lati. Negli esercizi svolti che vi proporremo qui di seguito noterete che, se non si dispone della misura del lato, potremo ricavarla da qualsiasi altro dato a nostra disposizione.

    Per un formulario completo sull'ottagono vi rimandiamo alla pagina dell'omonimo link.

    Esercizi svolti sul perimetro dell'ottagono

    Vi proponiamo alcuni problemi sul perimetro dell'ottagono, sia regolare che irregolare, interamente svolti e spiegati in ogni singolo passaggio.

    Calcolo perimetro ottagono con il lato

    Se si conosce la misura del lato di un ottagono regolare, trovare il perimetro è un gioco da ragazzi; basta infatti moltiplicare la lunghezza del lato per 8.

    2p=8L

    Esempio

    Il lato di un ottagono regolare misura 5,5 centimetri; calcolarne il perimetro.

    2p=8L = 8 \times (5,5 \mbox{ cm}) = 44 \mbox{ cm}

    Calcolo perimetro ottagono con l'apotema

    Per calcolare il perimetro dalla misura dell'apotema possiamo determinare il lato dividendo l'apotema per il numero fisso dell'ottagono (f=1,207)

    L=\frac{a}{f}

    per poi calcolare il perimetro moltiplicando il lato per 8

    2p=8L

    In alternativa possiamo usare la seguente formula diretta che riassume le precedenti relazioni:

    2p=\frac{8a}{f}

    Esempio

    Calcolare il perimetro di un ottagono sapendo che il suo apotema misura 24,14 metri.

    Troviamo la misura del lato dell'ottagono dividendo la lunghezza dell'apotema per il numero fisso

    L=\frac{a}{f}=\frac{24,14 \mbox{ m}}{1,207} = 20 \mbox{ m}

    Moltiplicando il lato per 8 otteniamo il suo perimetro

    2p=8L = 8 \times 20 \mbox{ m} = 160 \mbox{ m}

    Calcolo perimetro ottagono con l'area

    Se il testo del problema fornisce l'area dell'ottagono, dobbiamo dapprima trovare la misura del lato estraendo la radice quadrata del rapporto tra area e costante d'area (\varphi = 4,828)

    L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}

    e, successivamente, calcolare il perimetro con la relativa formula

    2p=8L

    Se oltre all'area si dispone della misura dell'apotema, nulla ci vieta di trovare il perimetro ricorrendo alla seguente formula diretta

    2p=\frac{2A}{a}

    Esempio

    L'area di un ottagono regolare è di 120,7 metri quadrati. Quanto vale il perimetro?

    Per prima cosa individuiamo la misura del lato dell'ottagono

    L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}} = \sqrt{\frac{120,7 \mbox{ m}^2}{4,828}} = \sqrt{25 \mbox{ m}^2} = 5 \mbox{ m}

    dopodiché procediamo al calcolo del perimetro

    2p=8L = 8 \times (25 \mbox{ m}) = 200 \mbox{ m}

    Calcolo perimetro di un ottagono irregolare

    Se dobbiamo calcolare il perimetro di un ottagono irregolare dobbiamo necessariamente risalire alla misura dei suoi lati otto lati per poi sommarle. L'unico suggerimento che possiamo darvi è quello di scomporre l'ottagono in poligoni di cui conoscete formule dirette per il calcolo dei lati.

    Esempio

    Calcolare il perimetro dell'ottagono irregolare in figura.

     

    Perimetro ottagono irregolare

     

    Tracciamo un segmento che unisce i vertici B e D e un altro segmento che unisce i vertici H e D. L'ottagono è stato così diviso in un quadrato, un triangolo rettangolo e un parallelogramma.

    Un quadrato ha quattro lati congruenti, quindi

    \overline{AB}=\overline{AH}=\overline{HD}=\overline{DB}=3 \mbox{ cm}

    Applicando il teorema di Pitagora possiamo trovare la misura del lato BC che è l'ipotenusa del triangolo rettangolo di vertici B, \ C, \ D

    \\ \overline{BC}= \sqrt{\overline{CD}^2 + \overline{BD}^2}=\\ \\ =\sqrt{(4 \mbox{ cm})^2+(3 \mbox{ cm})^2} = \sqrt{16 \mbox{ cm}^2 + 9 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2} = 5 \mbox{ cm}

    Il quadrilatero di vertici D, \ E, \ F, \ G è un parallelogramma, quindi i suoi lati opposti sono congruenti.

    \\ \overline{ED}=\overline{FG} = 8 \mbox{ cm} \\ \\ \overline{FE}=\overline{GH}+\overline{HD}=9\mbox{ cm} + 3 \mbox{ cm} = 12 \mbox{ cm}

    Dalla somma delle misure degli otto lati otteniamo il perimetro dell'ottagono irregolare

    \\ 2p=\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DE} + \overline{EF} + \overline{FG} + \overline{GH} + \overline{HA} = \\ \\ = 3 \mbox{ cm} + 5 \mbox{ cm} + 4 \mbox{ cm} + 8 \mbox{ cm} + 12 \mbox{ cm} + 8 \mbox{ cm} + 9 \mbox{ cm} + 3 \mbox{ cm}= 52 \mbox{ cm}

    ***

    Per cercare altri esercizi svolti sul perimetro dell'ottagono potete usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
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