Proprietà transitiva

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Wiki - Logica

Cos'è la proprietà transitiva? Vorrei sapere cosa afferma la proprietà transitiva e quando una relazione tra gli elementi di un insieme si dice transitiva, magari con qualche esempio.

 

Ne approfitto anche per chiedervi cosa dice la proprietà intransitiva e qual è la differenza tra proprietà transitiva e intransitiva.

 

È vero che esistono relazioni che non sono né transitive né intransitive? Se così fosse, potreste proporre un esempio?

Domanda di FAQ

 
Soluzioni

  • La proprietà transitiva è una delle proprietà delle relazioni tra gli elementi di un insieme. Si dice che una relazione definita in un insieme gode della proprietà transitiva se, tutte le volte che un elemento x è in relazione con un elemento y, e congiuntamente l'elemento y è in relazione con un elemento z, allora x è in relazione con z.

    Cerchiamo di essere ancora più precisi e indichiamo con A un insieme non vuoto e con mathfrakR una relazione binaria definita in A.

    mathfrakR è una relazione transitiva se e solo se per ogni x,y,z appartenenti ad A, se x è in relazione con y e se y è in relazione con z, allora x è in relazione con z.

    mathfrakR relazione transitiva in A ⇔ ∀ x,y,z ∈ A: x mathfrakRy ∧ y mathfrakRz ⇒ x mathfrakRz

    Esempi sulla proprietà transitiva

    1) Sia A l'insieme di tutti gli italiani e mathfrakR la relazione "vive nella stessa città di".

    Questa relazione gode della proprietà transitiva e per dimostrarlo consideriamo tre cittadini italiani qualsiasi, a cui assegniamo dei nomi di fantasia: Aldo, Giovanni e Giacomo.

    Se Aldo vive nella stessa città di Giovanni, e se Giovanni vive nella stessa città di Giacomo, allora Aldo vive necessariamente nella stessa città di Giacomo, per cui la relazione "vive nella stessa città di" è transitiva.

    2) Se consideriamo l'insieme R dei numeri reali, la relazione d'uguaglianza (=) e quelle di disuguaglianza (>, ≥, <, ≤), sono tutte relazioni transitive. Osserviamo infatti che per ogni x,y,z ∈ R risulta che:

    • se x = y e y = z allora x = z ; • se x > y e y > z allora x > z ; • se x ≥ y e y ≥ z allora x ≥ z ; • se x < y e y < z allora x < z ; • se x ≤ y e y ≤ z allora x ≤ z

    3) Un altro esempio di relazione transitiva è la relazione di parallelismo tra rette di un piano, infatti se r,s,t sono tre qualsiasi rette del piano tali che r è parallela a s e s è parallela a t, allora r è parallela a t.

    Proprietà intransitiva (o antitransitiva)

    Una relazione binaria mathfrakR definita in un insieme A gode della proprietà intransitiva se e solo se per ogni x,y,z appartenenti ad A, se x è in relazione con y e se y è in relazione con z, allora x non è in relazione con z.

    mathfrakR relazione intransitiva in A ⇔ ∀ x,y,z ∈ A: x mathfrakRy ∧ y mathfrakRz ⇒ x not mathfrakRz

    Uno tra i più classici esempi di relazione intransitiva è la relazione di perpendicolarità tra rette nel piano.

    Date infatti tre qualsiasi rette del piano r,s,t, se r è perpendicolare a s e se s è perpendicolare a t, allora r non è perpendicolare a t. Come si può facilmente vedere con un disegno, r e t devono infatti essere parallele.

    Relazione né transitiva né intransitiva

    Negando la definizione di transitività ricaviamo che una relazione mathfrakR in un insieme A non è transitiva se esistono almeno tre elementi x,y,z di A tali che se x è in relazione con y e se y è in relazione con z, allora x non è in relazione con z.

    mathfrakR relazione non transitiva in A ⇔ ∃ x,y,z ∈ A: x mathfrakRy ∧ y mathfrakRz ⇒ x not mathfrakRz

    Da ciò deduciamo che i concetti di intransitività e non transitività non sono sinonimi, contrariamente a quanto si potrebbe pensare. Esistono infatti relazioni che non sono né transitive né intransitive. Ne è un esempio la relazione mathfrakR così definita nell'insieme N dei numeri naturali:

    x mathfrakR y ⇔ x^2+y < 6

    La relazione mathfrakR non è transitiva perché non è vero che per ogni x,y,z ∈ N se x è in relazione con y e se y è in relazione con z, allora x è in relazione con z.

    Come controesempio consideriamo i numeri naturali 2, 0 e 3:

    2 mathfrakR 0, infatti 2^2+0 = 4+0 = 4 < 6 ; 0 mathfrakR 3, infatti 0^2+3 = 0+3 = 3 < 6

    ma 2 non è in relazione con 3, in quanto

    2 not mathfrakR 3, infatti 2^2+3 = 4+3 = 7 > 6

    Al tempo stesso mathfrakR non è neanche intransitiva, perché non è vero che per ogni x,y,z ∈ N se x è in relazione con y e se y è in relazione con z, allora x non è in relazione con z.

    Basta prendere ad esempio 0, 1, 2, e osservare che:

    0 mathfrakR 1, infatti 0^2+1 = 0+1 = 1 < 6 ; 1 mathfrakR 2, infatti 1^2+2 = 1+2 = 3 < 6

    Al contempo 0 è in relazione con 2, infatti

    0 mathfrakR 2, infatti 0^2+2 = 0+2 = 2 < 6

    ***

    Ci fermiamo qui e come spunto di approfondimento ti segnaliamo la pagina su connettivi logici e tavole di verità - click!

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Logica