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  • La proprietà transitiva è una delle proprietà che caratterizza le relazioni tra gli elementi di uno stesso insieme. Nello specifico si dice che una relazione gode della proprietà transitiva se:

    - nell'ipotesi che un elemento x sia in relazione con un elemento y;

    - e nell'ipotesi che l'elemento y sia in relazione con l'elemento z;

    allora risulta che x è in relazione con z.

    Volendo esprimere la proprietà transitiva in formule, indichiamo con A un insieme non vuoto e con \mathfrak{R} una relazione binaria definita nell'insieme A.

    \mathfrak{R} è una relazione transitiva se e solo se

    \forall \ x,y,z \in A: \ x\mathfrak{R}y \wedge y\mathfrak{R}z \Rightarrow x\mathfrak{R}z

    Esempi sulla proprietà transitiva

    1) Sia A l'insieme di tutti gli italiani e \mathfrak{R} la relazione "vive nella stessa città di".

    Tale relazione gode della proprietà transitiva. Consideriamo tre cittadini italiani qualsiasi, a cui assegneremo dei nomi di fantasia: se Aldo vive nella stessa città di Giovanni e se Giovanni vive nella stessa città di Giacomo, allora Aldo vive nella stessa città di Giacomo.

    2) Sia A l'insieme di tutti gli gli esseri umani e \mathfrak{R} la relazione "è figlio di".

    Questa relazione non gode della proprietà transitiva, infatti se Francesco è figlio di Giuseppe e Giuseppe è figlio di Paolo, allora Francesco non è figlio di Paolo.

    3) Se consideriamo l'insieme \mathbb{R} dei numeri reali, la relazione d'uguaglianza (=) e quelle di disuguaglianza (>, ≥, <, ≤) sono relazioni transitive.

    4) La relazione di parallelismo tra rette di un piano è una relazione transitiva.

    5) La relazione di perpendicolarità tra rette non gode della proprietà transitiva, infatti se una retta r è perpendicolare alla retta s e s è perpendicolare alla retta t, allora r non è perpendicolare a t.

    Risposta di Galois
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