Soluzioni
  • Il numero fisso dell'ottagono esprime il rapporto tra la misura dell'apotema e la lunghezza del lato di un qualsiasi ottagono regolare. A ogni poligono regolare è associato un numero fisso, e quello dell'ottagono vale 1,207.

    Per una tabella con i numeri fissi di tutti i poligoni regolari vi rimandiamo alla pagina del link.

     

    Numero fisso ottagono

    Numero fisso ottagono = a/L = 1,207

     

    Formule con il numero fisso dell'ottagono

    Il numero fisso è una costante tipica di ciascun poligono regolare e si definisce come il rapporto apotema e lato, ossia

    f=\frac{a}{L}

    dove f indica il numero fisso, a la misura dell'apotema e L la lunghezza del lato.

    Nella seguente tabella abbiamo riportato le due formule che coinvolgono il numero fisso dell'ottagono, ottenute invertendo la precedente relazione prima in favore dell'apotema e poi in favore del lato.

     

    Apotema dell'ottagono con lato e numero fisso

    a=L\times f = L \times 1,207

    Lato dell'ottagono con apotema e numero fisso

    L=\frac{a}{f}=\frac{a}{1,207}

     

    Per un elenco completo di tutte le formule dell'ottagono vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti con il numero fisso dell'ottagono

    Vi proponiamo or ora una breve raccolta di esercizi svolti, che vi permetteranno di prendere confidenza con le formule sul numero fisso dell'ottagono. Ogni esercizio è interamente svolto e spiegato passo passo.

    1) Calcolare la misura dell'apotema di un ottagono sapendo che il suo perimetro è di 160 centimetri.

    L'ottagono regolare ha 8 lati congruenti, quindi possiamo risalire alla misura del lato dividendo il perimetro per 8

    L=\frac{160 \mbox{ cm}}{8} = 20 \mbox{ cm}

    Calcoliamo poi la misura dell'apotema moltiplicando la lunghezza del lato per il numero fisso

    a=L \times f = (20 \mbox{ cm}) \times 1,207 = 24,14 \mbox{ cm}

    2) Determinare il perimetro di un ottagono regolare sapendo che il suoapotema misura 36,21 metri.

    Calcoliamo la lunghezza del lato dell'ottagono dividendo l'apotema per il numero fisso, per poi trovare il perimetro moltiplicando la misura del lato per 8.

    \\ L=\frac{a}{f} = \frac{36,21 \mbox{ m}}{1,207} = 30 \mbox{ m} \\ \\ \\ 2p = 8 \times L = 8 \times (30 \mbox{ m}) = 240 \mbox{ m}

    3) L'area di un ottagono regolare è di 482,8 metri quadrati; calcolare la misura dell'apotema.

    L'area di un ottagono regolare si calcola moltiplicando il quadrato del lato per la costante d'area \varphi = 4,828

    A=L^2 \times \varphi

    Invertendo la precedente formula possiamo individuare la misura del lato, per poi calcolare la lunghezza dell'apotema moltiplicando il lato per il numero fisso

    \\ L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}} = \sqrt{\frac{482,8 \mbox{ m}^2}{4,828}} = \sqrt{100 \mbox{ m}^2} = 10 \mbox{ m} \\ \\ \\ a=L\times f = (10 \mbox{ m}) \times 1,207 = 12,07 \mbox{ m}

    Formula trigonometrica per il calcolo del numero fisso (per studenti di scuola superiore e universitari)

    Se avete dimestichezza con la Trigonometria potrebbe esservi utile sapere che esiste una formula goniometrica che fa uso della tangente, con cui è possibile calcolare il numero fisso di un qualsiasi poligono regolare.

    f_n=\frac{1}{2 \tan \left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)}

    dove n indica il numero dei lati del poligono.

    Per ricavare il numero fisso dell'ottagono basta sostituire n=8. L'angolo corrispondente

    \frac{180^\circ}{8}=22^\circ\ 30'

    rientra nella tabella dei valori notevoli delle funzioni goniometriche, ma poiché il corrispondente valore non è semplicissimo da ricordare, potremo eventualmente servirci di una calcolatrice e arrotondare il risultato alla terza cifra decimale.

    f_8=\frac{1}{2 \tan \left(\frac{180^{\circ}}{8}\right)}=\frac{1}{2 \tan \left(22,5^{\circ}\right)} \simeq 1,207

    ***

    Se siete alla ricerca di altri esercizi svolti sull'ottagono vi consigliamo di usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
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