Soluzioni
  • Un arco di circonferenza è una qualsiasi parte di circonferenza compresa tra due suoi punti. In generale, presi due punti qualsiasi su una circonferenza, si dice arco di circonferenza ciascuna delle due parti di circonferenza delimitata da tali punti.

    La porzione di cerchio delimitata da un arco e dai raggi che congiungono i suoi estremi con il centro della circonferenza è detta settore circolare.

     

    Arco di circonferenza

    Arco di circonferenza L

     

    Formule per l'arco di circonferenza

    Per calcolare la lunghezza di un arco di circonferenza si possono usare formule differenti a seconda dei dati a disposizione. Nella seguente tabella abbiamo riportato tutte le formule, in cui abbiamo indicato con L la lunghezza dell'arco di circonferenza, con r il raggio, con A l'area del settore circolare, con 2p il perimetro e con \beta l'angolo al centro che insiste sull'arco di circonferenza L.

     

    Arco di circonferenza con perimetro e raggio

    L=2p-2r

    Arco di circonferenza con area e raggio

    L=\frac{2 \times A}{r}

    Arco di circonferenza con raggio e angolo espresso in gradi

    L=\frac{\beta}{360^{\circ}} \times 2\pi r

    Arco di circonferenza con raggio e angolo espresso in radianti

    L=\beta \times r

     

    Per le formule inverse sull'arco di circonferenza vi rimandiamo al formulario sul settore circolare.

    Esercizi svolti sull'arco di circonferenza

    Vediamo come si risolvono i problemi di Geometria in cui è richiesto il calcolo della lunghezza di un arco di circonferenza: per farlo passeremo in rassegna le varie formule, mostrando tutti i passaggi e fornendo ogni spiegazione utile per svolgere l'esercizio.

    Calcolo lunghezza arco di circonferenza con il perimetro e il raggio

    Il perimetro di un settore circolare si ottiene dalla somma tra la misura dei due raggi e la misura dell'arco di circonferenza che lo delimitano.

    2p=2r+L

    Di conseguenza, la lunghezza dell'arco di circonferenza si calcola sottraendo dal perimetro del settore circolare il doppio della lunghezza del raggio

    L=2p-2r

    Esempio

    Calcolare la lunghezza dell'arco di circonferenza che delimita un settore circolare avente un perimetro di 32 centimetri e il cui raggio misura 3 cm.

    L=2p-2r = (32 \mbox{ cm}) - 2 \times (3 \mbox{ cm}) = 32 \mbox{ cm} - 6 \mbox{ cm} = 26 \mbox{ cm}

    Calcolo lunghezza arco di circonferenza con l'area e il raggio

    Se si conosce l'area del settore circolare, per trovare la misura dell'arco di circonferenza si deve dividere il doppio dell'area per la lunghezza del raggio.

    L=\frac{2 \times A}{r}

    Esempio

    L'area di un settore circolare è di 12 metri quadrati; trovare la misura dell'arco di circonferenza sapendo che il raggio del settore misura 3 metri.

    L=\frac{2 \times A}{r} = \frac{2 \times (12 \mbox{ m}^2)}{3 \mbox{ m}} = \frac{24 \mbox{ m}^2}{3 \mbox{ m}}=8 \mbox{ m}

    Calcolo lunghezza arco di circonferenza con il raggio e l'angolo espresso in gradi

    Disponendo della misura del raggio e dell'ampiezza dell'angolo al centro espressa in gradi, si può trovare la lunghezza dell'arco di circonferenza dividendo l'ampiezza dell'angolo per 360° e moltiplicando il risultato per la lunghezza dell'intera circonferenza. In formule

    L=\frac{\beta}{360^{\circ}} \times 2\pi r

    Esempio

    L'angolo al centro che insiste su un arco di circonferenza ha un ampiezza di 72°. Calcolare la misura dell'arco sapendo che appartiene a una circonferenza la cui lunghezza è di 30 decimetri.

    La lunghezza di una circonferenza si calcola moltiplicando il doppio del raggio per Pi Greco

    L_{circonferenza} = 2 \pi r = 30 \mbox{ dm}

    Abbiamo quindi tutto quello che ci serve per trovare la misura dell'arco

    L=\frac{\beta}{360^{\circ}} \times 2\pi r = \frac{72^{\circ}}{360^{\circ}} \times (30 \mbox{ dm}) = \frac{1}{5} \times (30 \mbox{ dm}) = 6 \mbox{ dm}

    Calcolo lunghezza arco di circonferenza con il raggio e l'angolo espresso in radianti

    Se l'ampiezza dell'angolo al centro è riportata in radianti, per trovare la misura dell'arco basta moltiplicare l'ampiezza dell'angolo per la lunghezza del raggio

    L=\beta \times r

    Esempio

    L'angolo al centro che insiste su un arco di circonferenza ha un ampiezza di π/6. Calcolare la misura dell'arco sapendo che il cerchio ha un'area pari a 452,16 centimetri quadrati.

    Per trovare la lunghezza dell'arco ci serve la misura del raggio, che possiamo calcolare invertendo la formula dell'area del cerchio

    \\ A_{cerchio} = \pi r^2 \\ \\ r=\sqrt{\frac{A_{cerchio}}{\pi}} \simeq \sqrt{\frac{452,16 \mbox{ cm}^2}{3,14}} = \sqrt{144 \mbox{ cm}^2} = 12\mbox{ cm}

    Moltiplicando la misura del raggio per l'ampiezza dell'angolo otteniamo la lunghezza dell'arco:

    L=\beta \times r = \frac{\pi}{6} \times (12 \mbox{ cm}) = \pi \times (2 \mbox{ cm}) \simeq 3,14 \times (2 \mbox{ cm}) = 6,28 \mbox{ cm}

    ***

    Se siete alla ricerca di altri esercizi sull'arco di circonferenza potete consultare la scheda di problemi svolti sul settore circolare.

    Risposta di Galois
 
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