Soluzioni
  • L'apotema dell'esagono è il raggio della circonferenza inscritta in un esagono regolare. L'apotema è definito solo per i poligoni regolari, quindi con l'espressione apotema di un esagono ci si riferisce, implicitamente, a un esagono regolare.

    La lunghezza dell'apotema si calcola moltiplicando la misura del lato per il numero fisso e coincide con la misura dell'altezza di ciascuno dei sei triangoli equilateri ottenuti congiungendo i vertici dell'esagono con il suo centro.

     

    Apotema esagono

    Apotema esagono = L×f

     

    Formule per l'apotema dell'esagono

    Nella tabella sottostante trovate tutte le formule con cui è possibile calcolare la misura dell'apotema di un esagono regolare. I simboli che abbiamo usato sono a per apotema, L per il lato, f per il numero fisso, 2p per il perimetro, A per l'area e R per il raggio della circonferenza circoscritta.

     

    Apotema dell'esagono con lato e numero fisso (f = 0,866)

    a=L\times f

    Apotema dell'esagono con area e perimetro

    a=\frac{2 \times A}{2p}

    Apotema dell'esagono con lato e area

    a=\frac{A}{3L}

    Apotema dell'esagono con area e numero fisso

    a=\sqrt{\frac{A \times f}{3}}

    Apotema dell'esagono con raggio della circonferenza circoscritta

    a=\frac{R \times \sqrt{3}}{2}

     

    L'unica formula da ricordare è la prima; tutte le altre discendono dalle proprietà di cui gode l'esagono regolare. Con questo intendiamo che per calcolare la misura dell'apotema basta conoscere la lunghezza del lato, che può essere ricavata da qualsiasi altro dato a nostra disposizione.

    A tal proposito potete consultare la nostra lezione sull'esagono, dove trovate un elenco di tutte e le formule e le proprietà di cui gode questo poligono.

    Esercizi svolti sull'apotema dell'esagono

    Vediamo come si risolvono i problemi sul calcolo dell'apotema di un esagono al variare dei dati di cui disponiamo. Ogni esercizio è accuratamente svolto, con tutti i commenti del caso e i vari metodi risolutivi spiegati nel dettaglio.

    Calcolo apotema esagono con il lato e il numero fisso

    La misura dell'apotema di un esagono si ottiene moltiplicando la lunghezza del lato per il numero fisso dell'esagono {tex}(f=0,866){/tex

    a=L \times f

    Esempio

    Calcolare l'apotema di un esagono sapendo che il suo perimetro misura di 120 centimetri.

    Troviamo la misura del lato dividendo il perimetro dell'esagono per 6.

    L=\frac{2p}{6} = \frac{120 \mbox{ cm}}{6} = 20 \mbox{ cm}

    Possiamo quindi calcolare la lunghezza dell'apotema moltiplicando il lato per il numero fisso

    a= L \times f = (20 \mbox{ cm}) \times 0,866 = 17,32 \mbox{ cm}

    Calcolo apotema esagono con l'area

    Se si conosce l'area di un esagono regolare, per calcolare l'apotema si deve estrarre la radice quadrata di un terzo del prodotto tra area e numero fisso.

    a=\sqrt{\frac{A \times f}{3}}

    Se oltre all'area si dispone della misura del perimetro, si può risalire alla lunghezza dell'apotema con la seguente formula:

    a=\frac{2 \times A}{2p}

    Infine, se sono noti area e lato, si può dividere l'area per il triplo della misura del lato

    a=\frac{A}{3L}

    Esempio

    L'area di un esagono regolare è di 64,95 metri quadrati. Trovare la misura dell'apotema.

    \\ a=\sqrt{\frac{A \times f}{3}} = \sqrt{\frac{(64,95 \mbox{ m}^2) \times 0,866}{3}} = \\ \\ \\ = \sqrt{\frac{56,2467 \mbox{ m}^2}{3}} = \sqrt{18,7489 \mbox{ m}^2} = 4,33 \mbox{ m}

    In alternativa avremmo potuto calcolare la misura del lato estraendo la radice quadrata del rapporto tra area e costante d'area dell'esagono (\varphi = 2,598)

    L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}=\sqrt{\frac{64,95 \mbox{ m}^2}{2,598}} = \sqrt{25 \mbox{ m}^2} = 5 \mbox{ m}

    Per poi calcolare l'apotema moltiplicando il lato per il numero fisso

    a = L \times f = (5 \mbox{ m}) \times 0,866 = 4,33 \mbox{ m}

    Calcolo apotema esagono con il raggio della circonferenza circoscritta

    Se si conosce la misura del raggio della circonferenza circoscritta a un esagono, si può trovare l'apotema moltiplicando la misura del raggio per la radice di 3 e dividendo il risultato per 2.

    a=\frac{R \times \sqrt{3}}{2}

    La relazione precedente discende dalla formula dell'altezza del triangolo equilatero. Infatti, l'apotema dell'esagono è l'altezza di ciascuno dei sei triangoli equilateri ottenuti congiungendo i vertici dell'esagono con il suo centro, e il lato di questi triangoli è proprio il raggio della circonferenza circoscritta.

    Esempio

    Il raggio della circonferenza circoscritta a un esagono è di 2 metri; determinare la misura dell'apotema.

    a=\frac{R \times \sqrt{3}}{2}=\frac{(2 \mbox{ m}) \times \sqrt{3}}{2} = \sqrt{3} \mbox{ m} \simeq 1,732\mbox{ m}

    Un altro modo di risolvere il problema: poiché lato dell'esagono e raggio della circonferenza circoscritta hanno la stessa lunghezza

    L=R=2\mbox{ m}

    possiamo calcolare l'apotema con la relativa formula

    a=L \times f = (2 \mbox{ m}) \times 0,866 = 1,732 \mbox{ m}

    Calcolo apotema esagono con il lato e la tangente (per studenti di scuola superiore)

    Se avete già studiato Trigonometria e conoscete la definizione di tangente di un angolo potrebbe farvi comodo sapere che esiste un'altra formula per l'apotema di un poligono regolare qualsiasi.

    La formula a cui ci stiamo riferendo è

    a=\frac{L}{2 \times \tan\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)}

    in cui n indica il numero dei lati di un poligono regolare.

    L'esagono ha 6 lati, quindi per trovare l'apotema basta sostituire n con 6 e L con la misura del lato fornita dal testo del problema.

    Se si opta per questa strategia risolutiva può essere d'aiuto la tabella con i valori notevoli delle funzioni goniometriche.

    Esempio

    Il lato di un esagono è di 8 decimetri. Qual è la misura dell'apotema?

    \\ a=\frac{L}{2 \times \tan\left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)} = \frac{8 \mbox{ dm}}{2 \times \tan\left(\frac{180^{\circ}}{6}\right)} = \\ \\ \\ = \frac{8 \mbox{ dm}}{2 \times \tan\left(30^{\circ}\right)} = \frac{4 \mbox{ dm}}{\tan(30^{\circ})} =

    Ricordando che la tangente di 30 gradi vale 1/√3:

    =\frac{4 \mbox{ dm}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=4\sqrt{3} \mbox{ dm} \simeq 6,928 \mbox{ dm}

    ***

    Per altri esercizi svolti vi rimandiamo alla scheda di problemi svolti sull'esagono - click!

    Risposta di Galois
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