Soluzioni
  • Il perimetro dell'esagono si ottiene sommando le misure dei suoi lati. In particolare, poiché un esagono regolare ha sei lati congruenti, per calcolare il perimetro è sufficiente moltiplicare la misura del lato per 6.

    Per l'esagono irregolare, invece, non esistono formule con valenza generale. Si deve necessariamente risalire alla misura dei sei lati dell'esagono sfruttando i dati forniti dal testo del problema; potrebbe essere d'aiuto scomporre l'esagono in poligoni di cui si conoscono le formule per il calcolo dei lati.

     

    Perimetro esagono

    Perimetro esagono regolare = 6L

     

    Formule per il perimetro dell'esagono

    Le formule per il perimetro elencate qui di seguito valgono per qualsiasi esagono regolare. A proposito del significato dei simboli utilizzati: 2p è il perimetro, L il lato, a l'apotema (raggio della circonferenza inscritta), f il numero fisso, A l'area.

     

    Perimetro dell'esagono con il lato

    2p=6L

    Perimetro dell'esagono con apotema e numero fisso (f=0,866)

    2p=\frac{6a}{f}

    Perimetro dell'esagono con area e apotema

    2p=\frac{2A}{a}

     

    Le precedenti formule sono state riportate per completezza e non è assolutamente necessario ricordarle a memoria. Per il calcolo del perimetro di un esagono regolare basta moltiplicare per 6 la misura del lato, che può essere calcolata da apotema, area e da qualsiasi altro dato a nostra disposizione.

    Per tutte le proprietà e le formule sull'esagono, comprese le formule inverse del perimetro, vi rimandiamo al formulario del link.

    Esercizi svolti sul perimetro dell'esagono

    Passiamo all'atto pratico e vediamo come si risolvono le più comuni tipologie di esercizi sul calcolo del perimetro di un esagono. Ci concentreremo dapprima sull'esagono regolare per poi proporvi un problema accuratamente svolto sul perimetro di un esagono irregolare.

    Calcolo perimetro esagono con il lato

    Se è nota la lunghezza del lato di un esagono regolare, il suo perimetro si trova moltiplicando la misura del lato per 6.

    2p=6L

    Esempio

    Trovare il perimetro di un esagono regolare il cui lato misura 7,3 centimetri.

    2p=6L = 6 \times 7,3 \mbox{ cm} = 43,8 \mbox{ cm}

    Calcolo perimetro esagono con l'apotema

    Per trovare il perimetro disponendo della misura dell'apotema basta moltiplicare la lunghezza dell'apotema per 6 e dividere il risultato per il numero fisso dell'esagono (f=0,866)

    2p=\frac{6a}{f}

    Esempio

    L'apotema di un esagono misura misura 1,732 metri. Calcolare il perimetro.

    2p=\frac{6a}{f} = \frac{6 \times 1,732 \mbox{ m}}{0,866} = \frac{10,392 \mbox{ m}}{0,866} = 12 \mbox{ m}

    In alternativa avremmo potuto trovare la misura del lato dividendo l'apotema dell'esagono per il suo numero fisso

    L=\frac{a}{f}=\frac{1,732 \mbox{ m}}{0,866} = 2 \mbox{ m}

    per poi calcolare il perimetro moltiplicando il lato per 6

    2p=6L = 6 \times 2 \mbox{ m} = 12 \mbox{ m}

    Calcolo perimetro esagono con l'area

    Dall'area dell'esagono si può risalire alla misura del lato estraendo la radice quadrata del rapporto tra area e costante d'area \varphi = 2,598

    L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}

    dopodiché si può calcolare il perimetro con l'ormai famosa formula

    2p=6L

    Se oltre all'area il testo del problema fornisce la misura l'apotema, il perimetro può essere calcolato come il rapporto tra il doppio dell'area e l'apotema

    2p=\frac{2A}{a}

    Esempio

    Calcolare il perimetro di un esagono regolare sapendo che la sua area è di 259,8 metri quadrati.

    Dall'area possiamo risalire immediatamente alla misura del lato, per poi trovare il perimetro.

    \\ L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}} = \sqrt{\frac{259,8 \mbox{ m}^2}{2,598}} = \sqrt{100 \mbox{ m}^2} = 10 \mbox{ m} \\ \\ \\ 2p=6L = 6 \times 10 \mbox{ m} = 60 \mbox{ m}

    Calcolo perimetro esagono con raggio circonferenza circoscritta

    In un esagono regolare lato e raggio della circonferenza circoscritta sono congruenti, cioè la misura R del raggio della circonferenza circoscritta uguaglia la lunghezza del lato.

    R=L

    Di conseguenza si può trovare il perimetro moltiplicando la misura del raggio per 6.

    2p=6R=6L

    Esempio

    Un esagono regolare è inscritto in una circonferenza; calcolare il perimetro sapendo che il raggio della circonferenza è uguale a 32 decimetri.

    2p=6R=6 \times 32 \mbox{ dm} = 192 \mbox{ dm}

    Calcolo perimetro di un esagono irregolare

    Per trovare il perimetro di un esagono irregolare bisogna necessariamente trovare la misura di tutti e sei i suoi lati. Potrebbe essere d'aiuto scomporre l'esagono in poligoni a noi familiari, per i quali si conoscano le formule dirette che permettono di calcolare la lunghezza dei sei lati dell'esagono.

    Esempio

    Calcolare il perimetro dell'esagono irregolare riportato nella seguente immagine.

     

    Perimetro esagono irregolare

     

    Uniamo con un segmento i vertici B e D e dal punto F tracciamo un segmento perpendicolare al lato AB, chiamando H il piede della perpendicolare.

    Abbiamo così diviso l'esagono irregolare in un triangolo isoscele, un rettangolo e un triangolo rettangolo.

    Concentriamo la nostra attenzione sul triangolo isoscele di vertici B, \ C, \ D.

    La somma degli angoli interni di un triangolo è pari a un angolo piatto, quindi

    \widehat{BCD}+\widehat{CDB}+\widehat{DBC} = 180^{\circ}

    Poiché \widehat{BCD} = 60^{\circ} allora

    \widehat{CDB}+\widehat{DBC} = 180^{\circ} - \widehat{BCD} = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}

    \widehat{CDB} e \widehat{DBC} sono gli angoli alla base di un triangolo isoscele, quindi sono angoli congruenti. Di conseguenza

    \widehat{CDB}=\widehat{DBC}=\frac{120^{\circ}}{2}=60^{\circ}

    In definitiva, il triangolo di vertici B, \ C, \ D è un triangolo equilatero, ragion per cui

    \overline{CD}=\overline{BD}=\overline{BC} = 6 \mbox{ cm}

    Passiamo al rettangolo di vertici H, \ B, \ D, \ E. Sappiamo che:

    \\ \overline{DE}=\overline{BH}=10 \mbox{ cm} \\ \\ \overline{BD} = \overline{EH} = 6 \mbox{ cm}

    Possiamo quindi risalire alla misura dei seguenti due lati, che corrispondono ai due cateti del triangolo rettangolo di vertici A, \ H, \ F.

    \\ \overline{FH}=\overline{EH}-\overline{FH} = 6 \mbox{ cm} - 3 \mbox{ cm} = 3 \mbox{ cm} \\ \\ \overline{AH}=\overline{AB}-\overline{HB} = 14 \mbox{ cm} - 10 \mbox{ cm} = 4 \mbox{ cm}

    Applicando teorema di Pitagora calcoliamo la misura dell'ipotenusa AF

    \\ \overline{AF}= \sqrt{\overline{AH}^2 + \overline{FH}^2}= \sqrt{(4 \mbox{ cm})^2+(3 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ \sqrt{16 \mbox{ cm}^2 + 9 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2} = 5 \mbox{ cm}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per trovare il perimetro dell'esagono

    \\ 2p=\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \overline{DE} + \overline{EF} + \overline{FA} = \\ \\ = 14 \mbox{ cm} + 6 \mbox{ cm} + 6 \mbox{ cm} + 10 \mbox{ cm} + 3 \mbox{ cm} + 5 \mbox{ cm} = 44 \mbox{ cm}

    ***

    Per altri esercizi svolti sull'esagono vi rimandiamo alla pagina del link.

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Medie-Geometria