Soluzioni
  • Il perimetro di un pentagono si ricava dalla somma delle misure dei suoi cinque lati; se il pentagono è regolare i cinque lati sono congruenti tra loro, quindi per trovare il perimetro basta moltiplicare la misura del lato per 5.

    Per un pentagono irregolare bisogna necessariamente calcolare le misure dei lati sfruttando i dati forniti dal testo del problema; potrebbe essere d'aiuto scomporre il pentagono in poligoni che ci permettano di determinare le misure dei lati con opportune formule.

     

    Perimetro pentagono

    Perimetro pentagono regolare = 5L

     

    Formule per il perimetro del pentagono

    Per calcolare il perimetro di un pentagono regolare basta moltiplicare la lunghezza del lato per 5, dopo averla ricavata dagli altri dati a nostra disposizione.

    In alternativa possiamo utilizzare all'occorrenza altre formule dirette che, per completezza, abbiamo riportato nella seguente tabella.

    Prima di elencarle specifichiamo i simboli utilizzati: 2p è il perimetro, L il lato, a l'apotema (raggio della circonferenza inscritta), f il numero fisso e A l'area.

     

    Perimetro del pentagono con il lato

    2p=5L

    Perimetro del pentagono con l'apotema e numero fisso (f=0,688)

    2p=\frac{5a}{f}

    Perimetro del pentagono con area e apotema

    2p=\frac{2A}{a}

     

    Per fare un ripasso di tutte le proprietà e le formule del pentagono vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sul perimetro del pentagono

    Vi proponiamo una serie di problemi svolti, compreso un esercizio sul perimetro di un pentagono irregolare. Leggendo gli svolgimenti avrete modo di notare che non serve ricordare tutte le precedenti formule a memoria. ;)

    Calcolo perimetro pentagono con il lato

    Per trovare il perimetro di un pentagono regolare di cui si conosce il lato basta moltiplicarne la misura per 5

    2p=5L

    Esempio

    Il lato di un pentagono regolare misura 3,2 centimetri. Quanto misura il suo perimetro?

    2p=5L = 5 \times 3,2 \mbox{ cm} = 16 \mbox{ cm}

    Calcolo perimetro pentagono con l'apotema

    Se il testo del problema fornisce la misura dell'apotema del pentagono si può risalire al perimetro moltiplicando la lunghezza dell'apotema per 5 e dividendo il risultato per il numero fisso del pentagono

    2p=\frac{5a}{f}

    Esempio

    Calcolare il perimetro di un pentagono sapendo che il suo apotema misura 4,128 metri.

    2p=\frac{5a}{f} = \frac{5 \times 4,128 \mbox{ m}}{0,688} = \frac{20,64 \mbox{ m}}{0,688} = 30 \mbox{ m}

    Un modo del tutto equivalente di svolgere il problema:

    - ricaviamo il lato dividendo l'apotema per il numero fisso

    L=\frac{a}{f}=\frac{4,128 \mbox{ m}}{0,688} = 6 \mbox{ m}

    - calcoliamo il perimetro dalla misura del lato

    2p=5L = 5 \times 6 \mbox{ m} = 30 \mbox{ m}

    Calcolo perimetro pentagono con l'area

    Per trovare il perimetro disponendo dell'area si deve calcolare la misura del lato estraendo la radice quadrata del rapporto tra l'area del pentagono e la costante d'area \varphi = 1,72

    L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}

    dopodiché basta moltiplicare la misura del lato per 5

    2p=5L

    Se oltre all'area si conosce la misura dell'apotema, il perimetro può essere calcolato come rapporto tra il doppio dell'area e l'apotema

    2p=\frac{2A}{a}

    Esempio

    L'area di un pentagono regolare è di 247,68 metri quadrati. Quanto misura il suo perimetro?

    Calcoliamo la misura del lato del pentagono

    L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}} = \sqrt{\frac{247,68 \mbox{ m}^2}{1,72}} = \sqrt{144 \mbox{ m}^2} = 12 \mbox{ m}

    per poi ricavare il perimetro con la relativa formula

    2p=5L = 5 \times 12 \mbox{ m} = 60 \mbox{ m}

    Calcolo perimetro di un pentagono irregolare

    Non esistono formule dirette né metodi di risoluzione standard che consentano di determinare il perimetro di un pentagono irregolare. L'unico consiglio che possiamo darvi è quello di scomporre il pentagono in due o più poligoni di cui sappiate trovare la misura dei lati usando i dati forniti dal testo del problema e le formule già studiate.

    Esempio

    Calcolare il perimetro del pentagono irregolare in figura.

     

    Perimetro di un pentagono irregolare

     

    Tracciamo un segmento che unisce i vertici E e C. Abbiamo così diviso il pentagono irregolare in un triangolo rettangolo e in un quadrato.

    Del triangolo rettangolo sono note le misure dei due cateti

    \\ \overline{DE}=3 \mbox{ cm} \\ \\ \overline{CD}=4 \mbox{ cm}

    quindi possiamo trovare la misura dell'ipotenusa EC con il teorema di Pitagora

    \\ \overline{EC}= \sqrt{\overline{ED}^2 + \overline{CD}^2}= \sqrt{(3 \mbox{ cm})^2+(4 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ \sqrt{9 \mbox{ cm}^2 + 16 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{25 \mbox{ cm}^2} = 5 \mbox{ cm}

    Il poligono di vertici A, \ B, \ C, \ E è un quadrato, per cui

    \overline{AB} = \overline{BC} = \overline{AE} = \ovelrine{EC} = 5 \mbox{ cm}

    Abbiamo tutto quello che ci occorre per trovare il perimetro del pentagono

    \\ 2p=\overline{AB} + \overline{BC} + \overline{CD} + \ovelrine{DE} + \overline{EA} = \\ \\ = 5 \mbox{ cm} + 5 \mbox{ cm} + 4 \mbox{ cm} + 3 \mbox{ cm} + 5 \mbox{ cm} = 22 \mbox{ cm}

    ***

    Se siete alla ricerca di altri esercizi svolti sul perimetro del pentagono potete usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
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