Soluzioni
  • Il numero fisso del pentagono è una costante tipica del pentagono regolare, vale 0,688 ed è definito come il rapporto tra la misura dell'apotema e la lunghezza del lato.

    Per una tabella con i numeri fissi di tutti i poligoni regolari vi rimandiamo alla pagina del link.

     

    Numero fisso pentagono

    Numero fisso pentagono = a/L = 0,688

     

    Formule con il numero fisso del pentagono

    Grazie al numero fisso del pentagono si può risalire alla misura del lato conoscendo la lunghezza dell'apotema o, viceversa, si può calcolare la misura dell'apotema da quella del lato.

    Qui di seguito abbiamo elencato le due formule che coinvolgono il numero fisso di un pentagono, che discendono dalla definizione di numero fisso

    f=\frac{a}{L}

    dove L indica il lato, a l'apotema e f il numero fisso.

     

    Apotema con lato e numero fisso

    a=L\times f

    Lato con apotema e numero fisso

    L=\frac{a}{f}

     

    Per un elenco completo di tutte le formule del pentagono e per leggerne tutte le proprietà potete consultare la lezione del link.

    Esercizi svolti con il numero fisso del pentagono

    Vi proponiamo ora una serie di esercizi risolvibili con le formule che coinvolgono il numero fisso; ogni esercizio è spiegato nel dettaglio, con tutti i calcoli e i commenti del caso.

    1) Calcolare il perimetro di un pentagono regolare sapendo che il suo apotema misura 10,32 centimetri.

    Per trovare il perimetro ci serve la misura del lato, che possiamo ricavare dal rapporto tra apotema e numero fisso

    L=\frac{a}{f}=\frac{10,32 \mbox{ cm}}{0,688} = 15 \mbox{ cm}

    Di conseguenza:

    2p=5L = 5 \times (15 \mbox{ cm}) = 75 \mbox{ cm}

    2) L'area di un pentagono regolare è di 43 metri quadrati. Quanto misura il suo apotema?

    L'area di un pentagono regolare si ottiene dal prodotto tra il quadrato del lato e la costante d'area \varphi=1,72

    A=L^2 \times \varphi

    Invertendo la formula precedente possiamo calcolare la misura del lato

    L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}} = \sqrt{\frac{43 \mbox{ m}^2}{1,72}} = \sqrt{25 \mbox{ m}^2} = 5 \mbox{ m}

    e quindi risalire alla misura dell'apotema moltiplicando il lato per il numero fisso

    a=L\times f = (5 \mbox{ m}) \times 0,688 = 3,44 \mbox{ m}

    3) Trovare l'apotema di un pentagono sapendo che il suo perimetro è di 50 metri.

    Per calcolare la misura dell'apotema ci serve la lunghezza del lato, che può essere calcolata dividendo il perimetro per 5

    L=\frac{2p}{5}=\frac{50 \mbox{ m}}{5}=10 \mbox{ m}

    Dopodiché basta moltiplicare la misura del lato per il numero fisso, ottenendo così la lunghezza dell'apotema

    a=L\times f = (10 \mbox{ m}) \times 0,688 = 6,88 \mbox{ m}

    ***

    Per altri esercizi svolti sul pentagono potete usare la barra di ricerca interna.

    Formula trigonometrica per il calcolo del numero fisso (per studenti di scuola superiore e universitari)

    Se avete già studiato la Trigonometria sappiate che esiste una formula che permette di calcolare il numero fisso di qualsiasi poligono regolare mediante la tangente.

    Indicando con n il numero dei lati di un poligono regolare, la formula è data da:

    f_n=\frac{1}{2 \tan \left(\frac{180^{\circ}}{n}\right)}

    Per ottenere il valore del numero fisso del pentagono basta sostituire n con 5, svolgere i calcoli e arrotondare il risultato alla terza cifra decimale.

    f_5=\frac{1}{2 \tan \left(\frac{180^{\circ}}{5}\right)}=\frac{1}{2 \tan \left(36^{\circ}\right)} \simeq 0,688

    A tal proposito è opportuno servirsi della tabella dei valori delle funzioni goniometriche, o eventualmente usare la calcolatrice. ;)

    Risposta di Galois
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