Soluzioni
  • L'apotema di un pentagono regolare è il raggio della circonferenza inscritta nel pentagono. La misura dell'apotema coincide con la lunghezza dell'altezza di ciascuno dei cinque triangoli isosceli che si ottengono congiungendo i vertici del pentagono con il suo centro.

    Sottolineiamo che l'apotema è definito solamente per i poligoni regolari, ed è per questo motivo che l'espressione apotema del pentagono si riferisce implicitamente al pentagono regolare.

     

    Apotema pentagono

    Apotema di un pentagono regolare a.

     

    Formule per l'apotema del pentagono

    Nella seguente tabella abbiamo riportato le formule per la misura dell'apotema di un pentagono regolare. Abbiamo indicato con a l'apotema, con L il lato, con f il numero fisso, con 2p il perimetro, con A l'area e con R il raggio della circonferenza circoscritta al pentagono.

     

    Apotema del pentagono con lato e numero fisso (f = 0,688)

    a=L\times f

    Apotema del pentagono con area e perimetro

    a=\frac{2 \times A}{2p}

    Apotema del pentagono con raggio della circonferenza circoscritta

    a=\frac{R \times (\sqrt{5}+1)}{4}

     

    Nei seguenti esercizi vi mostreremo che per calcolare la misura dell'apotema è sufficiente conoscere la lunghezza del lato, che può essere ricavata da qualsiasi altro dato a nostra disposizione. Di conseguenza non è necessario imparare tutte le formule elencate in tabella, ma basta ricordare che l'apotema è dato dal prodotto tra lato e numero fisso.

    Se siete alla ricerca di tutte le formule e le proprietà del pentagono vi rimandiamo alla lezione del link.

    Esercizi svolti sull'apotema del pentagono

    Qui di seguito abbiamo spiegato come si risolvono le principali tipologie di problemi sul calcolo dell'apotema del pentagono, passando in rassegna le relative formule e proponendovi i vari metodi risolutivi.

    Calcolo apotema pentagono con il lato e il numero fisso

    Per calcolare la misura dell'apotema di un pentagono regolare di cui si conosce la misura del lato, basta moltiplicare il lato per il numero fisso

    A=L \times f

    Esempio

    Il perimetro di un pentagono regolare è di 20 centimetri; quanto misura il suo apotema?

    Per calcolare la misura del lato dobbiamo dividere il perimetro del pentagono per 5, infatti un pentagono regolare ha cinque lati congruenti.

    L=\frac{2p}{5} = \frac{20 \mbox{ cm}}{5} = 4 \mbox{ cm}

    Successivamente calcoliamo la lunghezza dell'apotema moltiplicando il lato per il numero fisso del pentagono

    A = L \times f = (4 \mbox{ cm}) \times 0,688 = 2,752 \mbox{ cm}

    Calcolo apotema pentagono con l'area e il perimetro

    Se si conoscono area e perimetro, l'apotema si trova dividendo il doppio dell'area per il perimetro

    a=\frac{2 \times A}{2p}

    Esempio

    L'area di un pentagono regolare è di 15,48 metri quadrati e il suo perimetro è di 15 metri; calcolare la misura dell'apotema.

    a=\frac{2 \times A}{2p} = \frac{2 \times (15,48 \mbox{ m}^2)}{15 \mbox{ m}} = \frac{30,96 \mbox{ m}^2}{15 \mbox{ m}} = 2,064 \mbox{ m}

    Calcolo apotema pentagono con l'area

    Se il testo del problema dovesse fornirci solamente l'area del pentagono, potremmo risalire alla misura dell'apotema procedendo nel modo seguente:

    - si ricava la misura del lato estraendo la radice quadrata del rapporto tra area e costante d'area del pentagono (\varphi = 1,72)

    L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}}

    - si calcola l'apotema moltiplicando il lato per il numero fisso

    a = L \times f

    Esempio

    Calcolare la misura dell'apotema di un pentagono regolare sapendo che la sua area è di 27,52 centimetri quadrati.

    Determiniamo la lunghezza del lato

    L=\sqrt{\frac{A}{\varphi}} = \frac{27,52 \mbox{ cm}^2}{1,72} = \sqrt{16 \mbox{ cm}^2} = 4 \mbox{ cm}

    per poi calcolare la misura dell'apotema come prodotto tra lato e numero fisso

    a = L \times f = (4 \mbox{ cm}) \times 0,688 = 2,752 \mbox{ cm}

    Calcolo apotema pentagono con il raggio della circonferenza circoscritta

    La formula utile per calcolare la misura dell'apotema dal raggio della circonferenza circoscritta è la seguente:

    a=\frac{R \times (\sqrt{5}+1)}{4}

    Esempio

    Il raggio della circonferenza circoscritta a un pentagono è di 64 millimetri; quant'è lungo l'apotema?

    \\ a=\frac{R \times (\sqrt{5}+1)}{4} = \frac{(64 \mbox{ mm}) \times (\sqrt{5}+1)}{4} = \\ \\ = 16(\sqrt{5}+1) \mbox{ mm} \simeq 51,8 \mbox{ mm}

    In alternativa avremmo potuto calcolare la misura del lato dal raggio della circonferenza circoscritta

    \\ L=\frac{R \times \sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2} =\\ \\ =\frac{(64 \mbox{ mm}) \times \sqrt{10-2\sqrt{5}}}{2} = \\ \\ = (32 \times \sqrt{10-2\sqrt{5}}) \mbox{ mm} \simeq 75,237 \mbox{ mm}

    e, successivamente, calcolare l'apotema con la relativa formula

    a=L \times f = (75,237 \mbox{ mm}) \times 0,688 \simeq 51,8 \mbox{ mm}

    Calcolo apotema pentagono con il lato e tangente (per studenti di scuola superiore)

    Esiste, infine, un'ultima formula che permette di calcolare l'apotema di un poligono regolare ricorrendo alla tangente.

    a=\frac{L}{2 \times \tan\left(\dfrac{180^{\circ}}{n}\right)}

    dove n indica il numero dei lati del poligono. Poiché il pentagono ha 5 lati, per trovare l'apotema bisogna sostituire n con 5.

    In questo contesto può rivelarsi utile la tabella dei valori delle funzioni goniometriche (o eventualmente la calcolatrice).

    Esempio

    Calcolare la misura dell'apotema di un pentagono il cui lato misura 3 decimetri.

    \\ a=\frac{L}{2 \times \tan\left(\dfrac{180^{\circ}}{n}\right)} = \frac{3 \mbox{ dm}}{2 \times \tan\left(\dfrac{180^{\circ}}{5}\right)} = \\ \\ \\ = \frac{3 \mbox{ dm}}{2 \times \tan\left(36^{\circ}\right)} \simeq \frac{3 \mbox{ dm}}{1,45} \simeq 2,06 \mbox{ dm}

    ***

    Se vi occorrono altri esercizi svolti sull'apotema del pentagono vi suggeriamo usare la barra di ricerca interna. ;)

    Risposta di Galois
 
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