Soluzioni
  • In senso lato è un'espressione della lingua italiana associata a un concetto cui si vuole attribuire il significato più ampio possibile, ossia meno specifico di quello comunemente usato.

    In Matematica la locuzione in senso lato si incontra per la prima volta nello studio della monotonia di una funzione, cioè nello studio di crescita e decrescita di una funzione nel suo dominio o su un intervallo in esso contenuto.

    Funzione crescente in senso lato

    Consideriamo una funzione y=f(x) e un intervallo I contenuto nel suo dominio, eventualmente coincidente col dominio stesso. Si dice che:

    - y=f(x) è crescente in senso lato su I se la funzione è monotona non decrescente su I, ossia se per ogni x_1, \ x_2 \in I, con x_1 < x_2 risulta:

    f(x_1) \le f(x_2)

    - y=f(x) è crescente in senso stretto su I se la funzione è strettamente crescente su I, ossia se per ogni x_1, \ x_2 \in I, con x_1 < x_2 risulta:

    f(x_1) < f(x_2)

    Abbandonando per un momento il formalismo matematico, possiamo dire che:

    - una funzione crescente in senso lato su un intervallo è una funzione che cresce o resta uguale nell'intervallo considerato;

    - una funzione crescente in senso stretto su un intervallo è una funzione che cresce e basta, sempre in riferimento all'intervallo preso in esame.

    Per fissare le idee consideriamo la funzione

    f(x)=\begin{cases}1 \mbox{ se } x\le 2 \\ x-1 \mbox{ se } x>2\end{cases}

    il cui grafico è riportato nella seguente immagine

     

    Crescente in senso lato

     

    La funzione è crescente in senso lato su tutto il dominio, infatti cresce o resta uguale. In particolare:

    - sull'intervallo (-\infty, 2] la funzione è costante, ossia "resta uguale", mentre

    - sull'intervallo (2,+\infty) è strettamente crescente, cioè "cresce e basta".

    Funzione decrescente in senso lato

    Se y=f(x) è una funzione e I è un intervallo contenuto impropriamente nel suo dominio, si dice che:

    - y=f(x) è decrescente in senso lato su I se la funzione è monotona non crescente su I, cioè se per ogni x_1, \ x_2 \in I, con x_1 < x_2 risulta:

    f(x_1) \ge f(x_2)

    - y=f(x) è decrescente in senso stretto su I se la funzione è strettamente decrescente su I, cioè se per ogni x_1, \ x_2 \in I, con x_1 < x_2 risulta:

    f(x_1) > f(x_2)

    Sebbene il seguente modo di esprimersi non sia rigoroso, possiamo dire che:

    - una funzione decrescente in senso lato su un intervallo è una funzione che decresce o resta uguale;

    - una funzione decrescente in senso stretto su un intervallo è una funzione che decresce e basta.

    A titolo di esempio tracciamo il grafico della funzione

    f(x)=\begin{cases}-x \mbox{ se } x\le 3 \\ -3 \mbox{ se } x>3\end{cases}

     

    Crescente in senso lato

     

    Su tutto il dominio la funzione decresce o resta uguale, quindi è una funzione decrescente in senso lato. Nello specifico:

    - sull'intervallo (-\infty, 3] la funzione strettamente decrescente;

    - sull'intervallo (3,+\infty) è costante.

    ***

    Una raccomandazione: in sede d'esame vi sconsigliamo di usare le espressioni "cresce o resta uguale", "cresce e basta" oppure "decresce o resta uguale", "decresce e basta" che abbiamo usato in questa pagina (col solo scopo di farvi cogliere a pieno i concetti esposti). È invece corretto esprimersi nei seguenti modi:

    una funzione crescente in senso lato è una funzione monotona non decrescente;

    una funzione crescente in senso stretto è una funzione monotona crescente;

    una funzione decrescente in senso lato è una funzione monotona non crescente;

    una funzione decrescente in senso stretto è una funzione monotona decrescente.

    ***

    Per tutti gli approfondimenti del caso e per vedere altri esempi potete consultare le nostre lezioni su funzione crescente, funzione decrescente e sulla monotonia di una funzione.

    Risposta di Galois
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