Soluzioni
  • Con proiezione di un punto su una retta si intende, generalmente, la proiezione ortogonale del punto su una retta assegnata.

    Se r è una retta qualsiasi e P è un punto non appartenente alla retta, la proiezione del punto P sulla retta r è il piede della perpendicolare condotta da P a r.

    Per rappresentare graficamente la proiezione di un punto su una retta basta disegnare una retta s passante per il punto P e perpendicolare alla retta r. Il punto di intersezione tra r e s è la proiezione cercata.

     

    Proiezione punto su una retta

     

    Nel caso particolare in cui il punto appartiene alla retta, la proiezione del punto sulla retta coincide con il punto stesso.

    Proiezione di un punto su una retta nel piano

    Dopo aver studiato la retta in Geometria Analitica, una tra le più classiche richieste degli esercizi è quella di trovare le coordinate cartesiane della proiezione di un punto su una retta.

    Se si conoscono le coordinate cartesiane di un punto P e l'equazione di una retta r, per trovare la proiezione del punto P sulla retta r si deve:

    - ricavare l'equazione della retta s passante per il punto P e ortogonale alla retta r;

    - trovare il punto di intersezione tra la retta r e la retta s risolvendo il sistema formato dalle loro equazioni.

    Esempio

    Determinare la proiezione ortogonale del punto P(0,1) sulla retta r: \ y=x.

    Ricaviamo dapprima l'equazione della retta s passante per il punto P e ortogonale alla retta r.

    Il coefficiente angolare della retta r è m_r=1 e due rette perpendicolari hanno i coefficienti angolari che sono l'uno il reciproco dell'altro, quindi

    m_s=-\frac{1}{m_r}=-\frac{1}{1}=-1

    L'equazione della retta s si ottiene scrivendo l'equazione della retta per il punto P noto il coefficiente angolare

    \\ y-y_P=m(x-x_P) \\ \\ y-1=mx

    e sostituendo m con il coefficiente angolare m_s=-1

    \\ y-1=-1 \cdot x \\ \\ y-1=-x \\ \\ y=1-x

    sicché

    s: \ y=1-x

    Per ricavare la proiezione ortogonale di P su r basta risolvere il sistema lineare formato dalle equazioni delle due rette r e s

    \\ \begin{cases}y=x \\ y=1-x\end{cases} \to \begin{cases}y=x \\ x=1-x\end{cases} \\ \\ \\ \begin{cases}y=x \\ x=\frac{1}{2}\end{cases} \to \begin{cases}y=\frac{1}{2} \\ y=\frac{1}{2}\end{cases}

    In definitiva, le coordinate della proiezione sono date da

    P'\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)

    Proiezione di un punto su una retta nello spazio

    In Geometria dello Spazio, per trovare la proiezione di un punto P su una retta r si deve:

    - trovare l'equazione del piano \pi passante per il punto P e ortogonale alla retta r;

    - risolvere il sistema formato dall'equazione della retta r e dall'equazione del piano \pi, la cui soluzione fornisce le coordinate cartesiane della proiezione di P su r.

    Esempio

    Trovare la proiezione ortogonale del punto P(1,1,1) sulla retta

    r: \begin{cases}x+y-2=0 \\ z+4=0\end{cases}

    L'equazione del piano passante per un punto e ortogonale a una retta si ottiene scrivendo l'equazione generale di un piano in forma cartesiana

    \pi : \ ax+by+cz+d=0

    e sostituendo i parametri direttori del piano (a,b,c) con le componenti del vettore v_r che individua la direzione della retta r. Fatto ciò, si ricava il valore del parametro d imponendo il passaggio del piano per il punto P.

    Poiché disponiamo dell'equazione cartesiana della retta r

    r: \begin{cases}x+y-2=0 \\ z+4=0\end{cases}

    la sua direzione è data dal prodotto vettoriale dei vettori direzione dei piani che ne formano l'equazione

    v_r = (1,1,0) \times (0,0,1) = (1,-1,0)

    Sostituiamo le componenti del vettore v_r al posto dei parametri direttori (a,b,c) del piano \pi

    \pi : \ x-y+d=0

    Imponiamo il passaggio per il punto P(1,1,1) sostituendo le sue coordinate nell'equazione del piano

    1-1+d=0 \iff d=0

    Pertanto

    \pi : \ x-y=0

    La proiezione ortogonale di P su r è il punto P'(1,1,-4), le cui coordinate si ottengono dalla risoluzione del seguente sistema

    \begin{cases}r \\ \pi\end{cases} \to \begin{cases}x+y-2=0 \\ z+4=0 \\ x-y=0\end{cases} \to \begin{cases} z=-4 \\ x=1 \\ y=1\end{cases}

    Risposta di Galois
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