Soluzioni
  • Scomporre un polinomio vuol dire scrivere il polinomio dato come prodotto di polinomi di grado inferiore. Per svolgere la scomposizione si può procedere con vari metodi di raccoglimento, applicare le regole dei prodotti notevoli oppure ricorrere alla regola di Ruffini.

    La scelta del metodo di scomposizione dipende sia dal numero di termini del polinomio, sia dalla forma con cui esso si presenta, ed è bene tener presente che non tutti i polinomi sono scomponibili.

    Prima di entrare nel vivo della questione precisiamo che, in Matematica, con il termine scomposizioni ci si può riferire anche:

    - alla scomposizione di un numero in fattori primi;

    - alla scomposizione di un numero in forma polinomiale;

    argomenti che abbiamo trattato nel dettaglio nelle pagine dei rispettivi link.

    Come si scompone un polinomio

    Quando si vuole scomporre un polinomio la prima cosa da fare è verificare se si può effettuare un raccoglimento a fattore comune, ossia vedere se c'è un fattore (numerico o letterale) comune a tutti i termini del polinomio.

    Se così fosse dovremmo procedere al raccoglimento totale, per poi usare la tabella di riepilogo sulle scomposizioni riportata qui di seguito, in cui abbiamo elencato i vari tipi di scomposizioni al variare del numero dei termini del polinomio da scomporre.

    Se il raccoglimento totale non è effettuabile allora si passa direttamente all'utilizzo della tabella.

     

    Numero di termini

    Scomposizioni possibili

    2 termini

    Differenza di quadrati: a^2-b^2=(a+b)(a-b)

    Differenza di cubi: a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    Somma di cubia^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

    Somma di quadrati: non è scomponibile in \mathbb{R}

    3 termini

    Quadrato di un binomio: a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2

    Trinomio notevole

    Regola di Ruffini

    4 termini

    Cubo di binomio: a^3+3a^2b+3ab^2+b^3=(a+b)^3

    Raccoglimento parziale

    Regola di Ruffini

    5 termini

    Regola di Ruffini

    6 termini

    Quadrato di un trinomio: a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)^2

    Raccoglimento parziale

    Regola di Ruffini

    7 o più termini

    Raccoglimento parziale (se i termini del polinomio sono in numero pari)

    Regola di Ruffini

     

    Esempi sulla scomposizione di un polinomio

    1) 2x^3+8x^2+8x

    Il fattore 2x è comune a tutti i termini del polinomio, quindi procediamo con un raccoglimento totale

    2x^3+8x^2+8x = 2x(x^2+4x+4)

    Il polinomio tra parentesi presenta tre termini, ed è lo sviluppo di un quadrato di binomio

    2x^3+8x^2+8x = 2x(x^2+4x+4) = 2x(x+2)^2

    2) 2ab+3a+10b+15

    I termini del polinomio non hanno nessun fattore in comune, quindi non possiamo effettuare un raccoglimento totale. Poiché il polinomio presenta quattro termini (ed evidentemente non è lo sviluppo di un cubo di binomio), possiamo provare a scomporlo con un raccoglimento parziale.

    Raccogliamo il fattore a nei primi due termini e il fattore 5 negli ultimi due

    2ab+3a+10b+15 = a(2b+3)+5(2b+3)

    Avendo ottenuto una coppia di parentesi tonde con gli stessi elementi possiamo ultimare il raccoglimento e quindi la scomposizione:

    2ab+3a+10b+15 = a(2b+3)+5(2b+3) = (2b+3)(a+5)

    3) 3a^3-24

    Procediamo dapprima a un raccoglimento totale del fattore 3

    3a^3-24 = 3(a^3-8)

    Il polinomio tra parentesi è una differenza di cubi, quindi

    3a^3-24 = 3(a^3-8)=3(a-2)(a^2+2a+4)

    ***

    Per verificare i risultati dei vostri esercizi sulle scomposizioni potete usare il tool per la scomposizione dei polinomi online; se invece volete fare un ripasso, vi consigliamo di leggere le nostre lezioni sui polinomi. ;)

    Risposta di Galois
 
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