Scomposizioni

Scomporre un polinomio vuol dire scrivere il polinomio dato come prodotto di polinomi di grado inferiore. Per svolgere la scomposizione si può procedere con vari metodi di raccoglimento, applicare le regole dei prodotti notevoli oppure ricorrere alla regola di Ruffini.

La scelta del metodo di scomposizione dipende sia dal numero di termini del polinomio, sia dalla forma con cui esso si presenta, ed è bene tener presente che non tutti i polinomi sono scomponibili.

Prima di entrare nel vivo della questione precisiamo che, in Matematica, con il termine scomposizioni ci si può riferire anche:

- alla scomposizione di un numero in fattori primi;

- alla scomposizione di un numero in forma polinomiale;

argomenti che abbiamo trattato nel dettaglio nelle pagine dei rispettivi link.

Come si scompone un polinomio

Quando si vuole scomporre un polinomio la prima cosa da fare è verificare se si può effettuare un raccoglimento a fattore comune, ossia vedere se c'è un fattore (numerico o letterale) comune a tutti i termini del polinomio.

Se così fosse dovremmo procedere al raccoglimento totale, per poi usare la tabella di riepilogo sulle scomposizioni riportata qui di seguito, in cui abbiamo elencato i vari tipi di scomposizioni al variare del numero dei termini del polinomio da scomporre.

Se il raccoglimento totale non è effettuabile allora si passa direttamente all'utilizzo della tabella.

Esempi sulla scomposizione di un polinomio

1)

Il fattore è comune a tutti i termini del polinomio, quindi procediamo con un raccoglimento totale

Il polinomio tra parentesi presenta tre termini, ed è lo sviluppo di un quadrato di binomio

2)

I termini del polinomio non hanno nessun fattore in comune, quindi non possiamo effettuare un raccoglimento totale. Poiché il polinomio presenta quattro termini (ed evidentemente non è lo sviluppo di un cubo di binomio), possiamo provare a scomporlo con un raccoglimento parziale.

Raccogliamo il fattore nei primi due termini e il fattore negli ultimi due

Avendo ottenuto una coppia di parentesi tonde con gli stessi elementi possiamo ultimare il raccoglimento e quindi la scomposizione:

3)

Procediamo dapprima a un raccoglimento totale del fattore 3

Il polinomio tra parentesi è una differenza di cubi, quindi

***

Per verificare i risultati dei vostri esercizi sulle scomposizioni potete usare il tool per la scomposizione dei polinomi online; se invece volete fare un ripasso, vi consigliamo di leggere le nostre lezioni sui polinomi. ;)