Soluzioni
  • Si dice altezza di un triangolo equilatero ciascuno dei segmenti che unisce un vertice del triangolo con il lato opposto, e tale da essere perpendicolare al lato stesso.

    Un triangolo equilatero ha tre altezze, tanti quanti sono i suoi vertici, e sono tra loro congruenti, cioè hanno la stessa misura. Inoltre ciascuna altezza di un triangolo equilatero è anche bisettrice, mediana e asse.

     

    Altezza triangolo equilatero

    Altezza H di un triangolo equilatero.

     

    Formule altezza triangolo equilatero

    La misura dell'altezza di un triangolo equilatero può essere calcolata dal lato, dall'area, dal perimetro, dall'apotema o dal raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.

    Prima di passare all'elenco delle formule specifichiamo i simboli che useremo: L è il lato S l'area, 2p il perimetro, r l'apotema (raggio della circonferenza inscritta) e R il raggio della circonferenza circoscritta.

     

    Altezza del triangolo equilatero con il lato

    H=\frac{\sqrt{3}}{2}L

    Altezza del triangolo equilatero con l'area

    H=\sqrt{\sqrt{3}S}

    Altezza del triangolo equilatero con il perimetro

    H=\frac{2p}{2\sqrt{3}}

    Altezza del triangolo equilatero con l'apotema (raggio circonferenza inscritta)

    H=3r

    Altezza del triangolo equilatero con il raggio della circonferenza circoscritta

    H=\frac{3}{2}R

     

    Per tutte le formule e le proprietà del triangolo equilatero, comprese le formule inverse dell'altezza, rimandiamo al formulario del link.

    Esercizi svolti altezza triangolo equilatero

    Passiamo agli esercizi sull'altezza del triangolo equilatero, spiegando da dove derivano le formule appena elencate e mostrando un esempio di applicazione.

    Calcolo altezza triangolo equilatero con il lato

    La formula utile a calcolare la lunghezza dell'altezza disponendo della misura del lato è la seguente

    H=\frac{\sqrt{3}}{2}L

    e discende dal teorema di Pitagora.

    Ciascuna altezza, infatti, divide il triangolo in due triangoli rettangoli aventi come ipotenusa il lato, come cateto maggiore l'altezza e come cateto minore metà del lato.

    Esempio

    Il lato di un triangolo equilatero misura 16 centimetri. Calcolare la misura dell'altezza.

    H = \frac{\sqrt{3}}{2}L = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 16 \mbox{ cm} = 8\sqrt{3} \mbox{ cm} \simeq 13,86 \mbox{ cm}

    Calcolo altezza triangolo equilatero con l'area

    Per trovare la misura dell'altezza dall'area si deve estrarre la radice quadrata del prodotto tra √3 e l'area del triangolo.

    H=\sqrt{\sqrt{3}S}

    Esempio

    L'area di un triangolo equilatero è di 12√3 metri quadrati. Quanto misura la sua altezza?

    H=\sqrt{\sqrt{3}S} = \sqrt{\sqrt{3} \times 12\sqrt{3} \mbox{ m}^2} = \sqrt{36 \mbox{ m}^2} = 6 \mbox{ m}

    Se per un motivo qualsiasi non ci dovessimo ricordare la precedente formula, potremmo risolvere il problema in un altro modo.

    Dalla formula dell'area del triangolo equilatero

    S=\frac{\sqrt{3}}{4} L^2

    possiamo ricavare la misura del lato

    L=\sqrt{\frac{4 \times S}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \times 12\sqrt{3} \mbox{ m}^2}{\sqrt{3}}} = \sqrt{48 \mbox{ m}^2} = 4\sqrt{3} \mbox{ m}

    per poi calcolare l'altezza dal lato

    H=\frac{\sqrt{3}}{2}L = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 4 \sqrt{3} \mbox{ m} = 6 \mbox{ m}

    Calcolo altezza triangolo equilatero con il perimetro

    Se il testo del problema fornisce la misura del perimetro, si può trovare l'altezza dividendo il perimetro per 2√3

    H=\frac{2p}{2\sqrt{3}}

    Esempio

    Calcolare l'altezza di un triangolo equilatero sapendo che il suo perimetro misura 60 decimetri.

    H=\frac{2p}{2\sqrt{3}} = \frac{60 \mbox{ dm}}{2 \sqrt{3}} = \frac{30 \mbox{ dm}}{\sqrt{3}} \simeq 17,32 \mbox{ dm}

    Saremmo potuti giungere allo stesso risultato ricavando la misura del lato dal perimetro

    \\ 2p=3L \\ \\ L=\frac{2p}{3}=\frac{60 \mbox{ dm}}{3}=20 \mbox{ dm}

    per poi calcolare l'altezza moltiplicando la misura del lato per √3/2

    H=\frac{\sqrt{3}}{2}L = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 20 \mbox{ dm} = 10\sqrt{3} \mbox{ dm} \simeq 17,32 \mbox{ dm}

    Calcolo altezza triangolo equilatero con l'apotema

    L'altezza di un triangolo equilatero è il triplo del raggio della circonferenza inscritta, quindi per calcolare la misura dell'altezza basta moltiplicare la lunghezza dell'apotema per 3.

    H=3r

    Esempio

    L'apotema di un triangolo equilatero misura 1,2 metri; quant'è lunga la sua altezza?

    H=3r = 3 \times 1,2 \mbox{ m} = 3,6 \mbox{ m}

    Calcolo altezza triangolo equilatero con il raggio della circonferenza circoscritta

    Per ottenere la misura dell'altezza dal raggio della circonferenza circoscritta basta moltiplicare la lunghezza del raggio per 3/2.

    H=\frac{3}{2}R

    Esempio

    Il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo equilatero è di 24 millimetri. Trovare la misura dell'altezza.

    H=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2} \times 24 \mbox{ mm} = 3 \times 12 \mbox{ mm} = 36 \mbox{ mm}

    ***

    Ora è il vostro turno! Continuate ad allenarvi con i nostri problemi svolti sul triangolo equilatero. ;)

    Risposta di Galois
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