Soluzioni
  • Il perimetro del triangolo equilatero è la misura del contorno del triangolo e si calcola sommando le lunghezze dei tre lati; poiché il triangolo equilatero ha tre lati congruenti tra loro, per trovare la misura del perimetro basta moltiplicare la misura di uno dei lati per 3.

     

    Area triangolo equilatero

    Perimetro triangolo equilatero = 3L

     

    Formule perimetro triangolo equilatero

    Prima di elencare le formule del perimetro del triangolo equilatero è bene specificare i simboli che useremo: S è l'area, 2p il perimetro, L il lato, H l'altezza, r l'apotema (raggio della circonferenza inscritta), R il raggio della circonferenza circoscritta.

     

    Perimetro del triangolo equilatero con il lato

    2p=3L

    Perimetro del triangolo equilatero con l'altezza

    2p=2\sqrt{3}H

    Perimetro del triangolo equilatero con l'area

    2p=3\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}

    Perimetro del triangolo equilatero con l'apotema (raggio circonferenza inscritta)

    2p=6\sqrt{3} r

    Perimetro del triangolo equilatero con il raggio della circonferenza circoscritta

    2p=3\sqrt{3} R

     

    Come vedremo negli esempi non è necessario imparare tutte le formule della tabella a memoria; per calcolare il perimetro basta conoscere la misura del lato, che si può ricavare dall'area, dall'altezza, dal raggio della circonferenza inscritta o ancora dal raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.

    Se siete alla ricerca di un tabella con tutte le formule, comprese le formule inverse del perimetro, vi invitiamo a leggere il nostro formulario sul triangolo equilatero.

    Esercizi svolti perimetro triangolo equilatero

    Risolviamo una serie di esercizi sul calcolo del perimetro di un triangolo equilatero. Ne vediamo uno per tipo, analizzando ciascuna delle formule proposte.

    Calcolo perimetro triangolo equilatero con il lato

    Il triangolo equilatero è un poligono con tre lati congruenti, quindi possiamo calcolarne il perimetro moltiplicando la misura del lato per 3.

    2p=3L

    Esempio

    Calcolare il perimetro di un triangolo equilatero sapendo che il lato misura 5,4 centimetri.

    2p = 3L = 3 \times (5,4 \mbox{ cm}) = 16,2 \mbox{ cm}

    Calcolo perimetro triangolo equilatero con l'altezza

    Se è nota la misura dell'altezza del triangolo equilatero, per trovarne il perimetro si deve moltiplicare la misura dell'altezza per 2√3.

    2p=2\sqrt{3}H

    Esempio

    L'altezza di un triangolo equilatero è lunga 13 millimetri. Quanto misura il perimetro?

    2p=2\sqrt{3}H = 2\sqrt{3} \times (13 \mbox{ mm}) = 26\sqrt{3} \mbox{ mm} \simeq 45 \mbox{ mm}

    Un modo del tutto equivalente di svolgere l'esercizio:

    - trovare la misura del lato dall'altezza con il teorema di Pitagora, infatti l'altezza di un triangolo equilatero è il cateto maggiore di un triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato e come cateto minore la metà del lato

    \\ L^2=H^2+\left(\frac{L}{2}\right)^2 \\ \\ \\ L^2-\frac{L^2}{4}=H^2 \\ \\ \\ \frac{3}{4}L^2=H^2 \\ \\ \\ L=\sqrt{\frac{4}{3}H^2} = \frac{2}{\sqrt{3}}H = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 13 \mbox{ mm} = \frac{26}{\sqrt{3}} \mbox{ mm}

    - calcolare il perimetro dal lato

    2p=3L= 3 \times \left(\frac{26}{\sqrt{3}} \mbox{ mm}\right) = \frac{78}{\sqrt{3}} \mbox{ mm} \simeq 45 \mbox{ mm}

    Calcolo perimetro triangolo equilatero con l'area

    La formula che consente di calcolare il perimetro di un triangolo equilatero dall'area è la seguente

    2p=3\sqrt{\frac{4S}{\sqrt{3}}}

    Esempio

    Calcolare il perimetro di un triangolo equilatero sapendo che la sua area è di 9 metri quadrati.

    \\ 2p=3\sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}} = 3 \times \sqrt{\frac{4 \times (9 \mbox{ m}^2)}{\sqrt{3}}} = \\ \\ \\ = 3 \times \sqrt{\frac{36 \mbox{ m}^2}{\sqrt{3}}} \simeq 3 \times (4,5 \mbox{ m}) = 13,5 \mbox{ m}

    In alternativa, dalla formula per l'area del triangolo equilatero

    A=\frac{\sqrt{3}}{4}L^2

    si può ricavare la misura del lato

    L=\sqrt{\frac{4A}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{4 \times (9 \mbox{ m}^2)}{\sqrt{3}}} = \sqrt{\frac{36 \mbox{ m}^2}{\sqrt{3}}} \simeq 4,5 \mbox{ m}

    e quindi calcolare il perimetro con la relativa formula

    2p = 3L = 3 \times (4,5 \mbox{ m}) = 13,5 \mbox{ m}

    Calcolo perimetro triangolo equilatero con l'apotema

    Per trovare il perimetro dall'apotema si deve moltiplicare la misura dell'apotema del triangolo equilatero per 6√3

    2p=6\sqrt{3} r

    Esempio

    L'apotema di un triangolo equilatero misura 5 metri; trovare il perimetro.

    2p=6\sqrt{3} r = 6\sqrt{3} \times (5 \mbox{ m}) = 30\sqrt{3} \mbox{ m} \simeq 52 \mbox{ m}

    Un altro modo di svolgere l'esercizio consiste nel trovare la misura del lato dall'apotema

    L=2\sqrt{3}r = 2 \sqrt{3} \times (5 \mbox{ m}) = 10\sqrt{3} \mbox{ m}

    per poi calcolare il perimetro

    2p = 3L = 3 \times (10\sqrt{3} \mbox{ m}) = 30\sqrt{3} \mbox{ m} \simeq 52 \mbox{ m}

    Calcolo perimetro triangolo equilatero dal raggio con la circonferenza circoscritta

    Per ottenere il perimetro di un triangolo equilatero dal raggio della circonferenza circoscritta si può usare la seguente formula

    2p=3\sqrt{3} R

    Esempio

    Il raggio della circonferenza circoscritta a un triangolo equilatero misura 7 decimetri; quanto misura il perimetro del triangolo?

    2p=3\sqrt{3} R = 3\sqrt{3} \times (7 \mbox{ dm}) = 21\sqrt{3} \mbox{ dm} \simeq 36,4 \mbox{ dm}

    Vi proponiamo un'altra strada da seguire per risolvere il problema: dal raggio della circonferenza circoscritta si può ricavare la misura dell'altezza

    H=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2} \times (7 \mbox{ dm}) = 10,5 \mbox{ dm}

    per poi calcolare la misura del lato

    L=\frac{2 \times H}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times (10,5 \mbox{ dm})}{\sqrt{3}} = \frac{21}{\sqrt{3}} \mbox{ dm}

    e, infine, trovare il perimetro

    2p=3L = 3 \times \left(\frac{21}{\sqrt{3}} \mbox{ dm}\right) \simeq 36,4 \mbox{ dm}

    ***

    Nella nostra scheda di esercizi svolti sul triangolo equilatero trovate molti altri problemi svolti con cui continuare ad allenarvi. ;)

    Risposta di Galois
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