Soluzioni
  • L'area del triangolo equilatero è la misura della superficie interna al triangolo equilatero e si può calcolare dalla misura del lato, dalla misura dell'altezza, dal perimetro, dalla lunghezza dell'apotema o del raggio della circonferenza circoscritta al triangolo.

     

    Area triangolo equilatero

     

    Formule area triangolo equilatero

    Nella seguente tabella abbiamo riportato tutte le formule dell'area del triangolo equilatero, e abbiamo indicato con S l'area, con L il lato, con H l'altezza, con 2p il perimetro, con R il raggio della circonferenza circoscritta e con r l'apotema (raggio della circonferenza inscritta).

     

    Area del triangolo equilatero con il lato

    S=\frac{\sqrt{3}}{4}L^2

    Area del triangolo equilatero con l'altezza

    S=\frac{H^2}{\sqrt{3}}

    Area del triangolo equilatero con il perimetro

    S=\frac{\sqrt{3}}{36}(2p)^2

    Area del triangolo equilatero con l'apotema (raggio circonferenza inscritta)

    S=3\sqrt{3}r^2

    Area del triangolo equilatero con il raggio della circonferenza circoscritta

    S=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2

     

    Negli esercizi che proporremo tra un istante vi faremo notare che non è assolutamente necessario ricordare a memoria tutte le formule riportate nella tabella. Per calcolare l'area di un triangolo equilatero basta conoscere la misura del lato, che si può ricavare da qualsiasi altro dato a nostra disposizione.

    Per tutte le formule del triangolo equilatero, comprese le formule inverse dell'area, vi rimandiamo al formulario del link.

    Esercizi svolti area triangolo equilatero

    Vediamo una serie di problemi svolti sul calcolo dell'area del triangolo equilatero, in cui abbiamo passato in rassegna le varie formule.

    Calcolo area triangolo equilatero con il lato

    Per calcolare l'area dalla misura del lato si deve moltiplicare il quadrato della lunghezza del lato per la radice quadrata di 3, e dividere il tutto per 4.

    S=\frac{\sqrt{3}}{4}L^2

    Esempio

    Calcolare l'area di un triangolo equilatero il cui lato misura 8 centimetri.

    \\ S = \frac{\sqrt{3}}{4}L^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (8 \mbox{ cm})^2 = \\ \\ \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 \mbox{ cm}^2 = 16\sqrt{3} \mbox{ cm}^2 \simeq 27,7 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area triangolo equilatero con l'altezza

    Se si conosce la lunghezza dell'altezza, per trovare l'area è sufficiente dividere il quadrato della misura dell'altezza per la radice quadrata di 3.

    S=\frac{H^2}{\sqrt{3}}

    Esempio

    L'altezza di un triangolo equilatero misura 18 millimetri. Calcolare l'area del triangolo.

    S=\frac{H^2}{\sqrt{3}} = \frac{(18 \mbox{ mm})^2}{\sqrt{3}} = \frac{324 \mbox{ mm}^2}{\sqrt{3}} \simeq 187 \mbox{ mm}^2

    Un altro modo di risolvere l'esercizio: osserviamo che l'altezza di un triangolo equilatero è il cateto maggiore di un triangolo rettangolo avente come ipotenusa il lato e come cateto minore la metà del lato.

    Possiamo quindi applicare il teorema di Pitagora

    H^2 = L^2 - \left(\frac{L}{2}\right)^2 = L^2 - \frac{L^2}{4} = \frac{3}{4}L^2

    e ottenere l'altezza in funzione del lato

    H^2 = \frac{3}{4}L^2

    Invertiamo la precedente relazione in favore di L, sostituiamo H=18\mbox{ mm} e calcoliamo l'area applicando la formula con il lato

    \\ L^2 = \frac{4}{3}H^2 \\ \\ \\ L=\sqrt{\frac{4}{3}H^2} = \frac{2}{\sqrt{3}}H = \frac{2}{\sqrt{3}} \times 18 \mbox{ mm} = \frac{36}{\sqrt{3}} \mbox{ mm} \\ \\ \\ S=\frac{\sqrt{3}}{4}L^2=\frac{\sqrt{3}}{4} \times \left(\frac{36}{\sqrt{3}} \mbox{ mm}\right)^2 = \\ \\ \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} \times \frac{1296}{3} \mbox{ mm}^2 = 108\sqrt{3} \mbox{ mm}^2 \simeq 187 \mbox{ mm}^2

    Calcolo area triangolo equilatero con il perimetro

    La formula che consente di calcolare l'area di un triangolo equilatero dal perimetro è la seguente

    S=\frac{\sqrt{3}}{36}(2p)^2

    Esempio

    Trovare l'area di un triangolo equilatero sapendo che il suo perimetro misura 90 decimetri.

    \\ S=\frac{\sqrt{3}}{36}(2p)^2 = \frac{\sqrt{3}}{36} \times (90 \mbox{ dm})^2 = \frac{\sqrt{3}}{36} \times 8100 \mbox{ dm}^2 = \\ \\ \\ = 225\sqrt{3} \mbox{ dm}^2 \simeq 389,7 \mbox{ dm}^2

    In alternativa avremmo potuto calcolare la misura del lato dal perimetro del triangolo equilatero

    \\ 2p=3L \\ \\ L=\frac{2p}{3}=\frac{90 \mbox{ dm}}{3}=30 \mbox{ dm}

    per poi applicare la formula sul calcolo dell'area con il lato, giungendo così allo stesso risultato

    \\ S=\frac{\sqrt{3}}{4} \times L^2= \frac{\sqrt{3}}{4} \times (30 \mbox{ dm})^2 = \\ \\ \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 900 \mbox{ dm}^2 = 225\sqrt{3} \mbox{ dm}^2 \simeq 389,7 \mbox{ dm}^2

    Calcolo area triangolo equilatero con l'apotema

    Conoscendo la lunghezza dell'apotema del triangolo equilatero si può calcolare l'area moltiplicando il quadrato dell'apotema per 3√3. In formule

    S=3\sqrt{3}r^2

    Esempio

    L'apotema di un triangolo equilatero misura 10 centimetri; quanto vale la sua area?

    \\ S=3\sqrt{3}r^2 = 3\sqrt{3} \times (10 \mbox{ cm})^2 = \\ \\ = 3\sqrt{3} \times 100 \mbox{ cm}^2 = 300\sqrt{3} \mbox{ cm}^2 \simeq 519,6 \mbox{ cm}^2

    Un modo del tutto equivalente di svolgere l'esercizio consiste nel trovare la misura del lato dall'apotema

    L=2\sqrt{3}r = 2 \sqrt{3} \times (10 \mbox{ cm}) = 20\sqrt{3} \mbox{ cm}

    e, successivamente, calcolare l'area moltiplicando la misura del lato per √3/4

    \\ S=\frac{\sqrt{3}}{4}L^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (20 \sqrt{3} \mbox{ cm})^2 = \\ \\ \\ = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 1200 \mbox{ cm}^2 = 300\sqrt{3} \mbox{ cm} \simeq 519,6 \mbox{ cm}^2

    Calcolo area triangolo equilatero con il raggio della circonferenza circoscritta

    Se è nota la misura del raggio della circonferenza circoscritta, si può trovare l'area ricorrendo alla seguente formula

    S=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2

    Esempio

    Un triangolo equilatero è inscritto in una circonferenza il cui raggio misura 2 metri. Calcolare l'area del triangolo.

    \\ S=\frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times (2 \mbox{ m})^2 = \\ \\ \\ = \frac{3 \sqrt{3}}{4} \times 4 \mbox{ m}^2 = 3\sqrt{3} \mbox{ m}^2 \simeq 5,2 \mbox{ m}^2

    Vi proponiamo un'altra strada da seguire per risolvere il problema.

    L'atezza di un triangolo equilatero è 3/2 del raggio della circonferenza circoscritta

    H=\frac{3}{2}R=\frac{3}{2} \times 2 \mbox{ m} = 3 \mbox{ m}

    Disponendo dell'altezza possiamo risalire alla misura del lato con il teorema di Pitagora, per poi calcolare l'area con l'ormai nota formula. Lasciamo a voi i calcoli. ;)

    ***

    Per leggere altri esercizi sull'area del triangolo equilatero vi consigliamo la scheda di esercizi svolti sul triangolo equilatero. ;)

    Risposta di Galois
 
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