Soluzioni
  • Una contraddizione è una proposizione matematica composta che è sempre falsa, qualsiasi sia il valore di verità delle proposizioni che la compongono.

    In generale, se dalla composizione di due o più enunciati per mezzo di connettivi logici si ottiene un enunciato falso, allora l'enunciato composto prende il nome di contraddizione.

    Come verificare se una proposizione è una contraddizione

    Per stabilire se una proposizione composta è una contraddizione è sufficiente costruire la relativa tavola di verità. Se l'ultima colonna della tabella di verità è formata da tutti falso (F), allora la proposizione è una contraddizione.

    Per fissare le idee consideriamo il seguente enunciato formato dalla congiunzione tra una proposizione p e la sua negazione \overline{p}

    p \wedge \overline{p}

    Per costruire la tavola di verità disegniamo una tabella avente un numero di colonne pari alla somma tra il numero di proposizioni elementari che formano l'enunciato e il numero di connettivi logici presenti in esso.

    L'unica proposizione elementare presente nell'enunciato è p e vi sono due connettivi logici: congiunzione e negazione, quindi dobbiamo formare una tabella con 1+2=3 colonne.

    Nella prima colonna della tavola di verità riportiamo la proposizione p e i suoi possibili valori di verità, che sono V o F.

    L'intestazione delle altre due colonne conterrà \overline{p} e tutto l'enunciato composto p \wedge \overline{p}.

    \begin{array}{|c|c|c|} \cline{1-3} p & \overline{p} & p \wedge \overline{p} \\ \cline{1-3} V & & \\ \cline{1-3} F & & \\ \cline{1-3} \end{array}

    Nella seconda colonna scriviamo i valori di verità dell'enunciato \overline{p}, che ha valori di verità opposti rispetto alla proposizione p.

    \begin{array}{|c|c|c|} \cline{1-3} p & \overline{p} & p \wedge \overline{p} \\ \cline{1-3} V & F & \\ \cline{1-3} F & V & \\ \cline{1-3} \end{array}

    Nell'ultima colonna vanno riportati i valori di verità di p \wedge \overline{p}, che è vera solo se entrambe le proposizioni p e \overline{p} sono vere.

    \begin{array}{|c|c|c|} \cline{1-3} p & \overline{p} & p \wedge \overline{p} \\ \cline{1-3} V & F & F\\ \cline{1-3} F & V & F\\ \cline{1-3} \end{array}

    Possiamo così concludere che p \wedge \overline{p} è una contraddizione, infatti è un enunciato sempre falso.

    Esempi di contraddizione

    Qui di seguito abbiamo riportato alcuni esempi di contraddizione, con la relativa tavola di verità.

    1) (p \vee q) \dot{\vee} (q \vee p)

    Per costruire la tavola di verità e verificare che si tratta di una contraddizione procediamo per passi:

    - costruiamo una tabella con 5 colonne, pari alla somma tra la proposizioni elementari presenti nell'enunciato (p e q) e il numero di connettivi logici (due congiunzioni inclusive e una congiunzione esclusiva).

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5} p & q & p \vee q & q \vee p & (p \vee q) \dot{\vee} (q \vee p) \\ \cline{1-5} & & & & \\ \cline{1-5} & & & & \\ \cline{1-5} & & & & \\ \cline{1-5} & & & & \\ \cline{1-5} \end{array}

    - Nelle prime due colonne riportiamo tutte le possibili combinazioni di valori di verità delle proposizioni p e q, che sono (V, V), (V, F), (F, V), (F, F).

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5} p & q & p \vee q & q \vee p & (p \vee q) \dot{\vee} (q \vee p) \\ \cline{1-5} V & V & & & \\ \cline{1-5} V & F & & & \\ \cline{1-5} F & V & & & \\ \cline{1-5} F & F & & & \\ \cline{1-5} \end{array}

    - \vee è il connettivo logico di disgiunzione inclusiva, ed è sufficiente che almeno uno dei due enunciati sia vero affinché l'enunciato composto risulti vero. Alla luce di questa definizione possiamo completare terza e quarta colonna della tavola di verità.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5} p & q & p \vee q & q \vee p & (p \vee q) \dot{\vee} (q \vee p) \\ \cline{1-5} V & V & V & V & \\ \cline{1-5} V & F & V & V & \\ \cline{1-5} F & V & V & V & \\ \cline{1-5} F & F & F & F & \\ \cline{1-5} \end{array}

    - \dot{\vee} è il connettivo logico di congiunzione esclusiva; un enunciato composto con lo xor è vero solo se i due enunciati hanno valore di verità opposto.

    Poiché (p \vee q) e (q \vee p) hanno gli stessi valori di verità, l'enunciato composto (p \vee q) \dot{\vee} (q \vee p) è sempre falso, e quindi è una contraddizione.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5} p & q & p \vee q & q \vee p & (p \vee q) \dot{\vee} (q \vee p) \\ \cline{1-5} V & V & V & V & F\\ \cline{1-5} V & F & V & V & F\\ \cline{1-5} F & V & V & V & F\\ \cline{1-5} F & F & F & F & F\\ \cline{1-5} \end{array}

    2) (p \to q) \leftrightarrow (p \wedge \overline{q})

    Abbiamo un enunciato formato da due proposizioni elementari e quattro connettivi logici, quindi la relativa tavola di verità avrà 2+4=6 colonne.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-6} p & q & \overline{q} & p \to q & p \wedge \overline{q} & (p \to q) \leftrightarrow (p \wedge \overline{q}) \\ \cline{1-6} & & & & & \\ \cline{1-6} & & & & & \\ \cline{1-6} & & & & & \\ \cline{1-6} & & & & & \\ \cline{1-6} \end{array}

    Le prime due colonne contengono le possibili combinazioni di valori di verità delle proposizioni p e q, mentre la terza è la negazione della proposizione q, che ha valori di verità opposti rispetto a q.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-6} p & q & \overline{q} & p \to q & p \wedge \overline{q} & (p \to q) \leftrightarrow (p \wedge \overline{q}) \\ \cline{1-6} V & V & F & & & \\ \cline{1-6} V & F & V & & & \\ \cline{1-6} F & V & F & & & \\ \cline{1-6} F & F & V & & & \\ \cline{1-6} \end{array}

    L'enunciato p \to q, formato col connettivo logico di implicazione materiale, è falso solo quando p è vero e q è falso.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-6} p & q & \overline{q} & p \to q & p \wedge \overline{q} & (p \to q) \leftrightarrow (p \wedge \overline{q}) \\ \cline{1-6} V & V & F & V & & \\ \cline{1-6} V & F & V & F & & \\ \cline{1-6} F & V & F & V & & \\ \cline{1-6} F & F & V & V & & \\ \cline{1-6} \end{array}

    L'enunciato p \wedge \overline{q} è vero solo se entrambi gli enunciati p e \overline{q} sono veri.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-6} p & q & \overline{q} & p \to q & p \wedge \overline{q} & (p \to q) \leftrightarrow (p \wedge \overline{q}) \\ \cline{1-6} V & V & F & V & F & \\ \cline{1-6} V & F & V & F & V & \\ \cline{1-6} F & V & F & V & F & \\ \cline{1-6} F & F & V & V & F & \\ \cline{1-6} \end{array}

    Da ultimo l'enunciato (p \to q) \leftrightarrow (p \wedge \overline{q}), formato col connettivo logico di coimplicazione materiale, è vero solo quando i due enunciati p \to q e p \wedge \overline{q} hanno lo stesso valore di verità.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-6} p & q & \overline{q} & p \to q & p \wedge \overline{q} & (p \to q) \leftrightarrow (p \wedge \overline{q}) \\ \cline{1-6} V & V & F & V & F & F\\ \cline{1-6} V & F & V & F & V & F\\ \cline{1-6} F & V & F & V & F & F\\ \cline{1-6} F & F & V & V & F & F\\ \cline{1-6} \end{array}

    Poiché (p \to q) \leftrightarrow (p \wedge \overline{q}) è sempre falso, allora è una contraddizione.

    3) Lasciamo a voi il compito di verificare che (p \vee q) \wedge (\overline{p} \wedge \overline{q}) è un altro esempio di contraddizione.

    ***

    Se una formula enunciativa risulta vera qualsiasi sia il valore di verità delle proposizioni che la compongono si dice che è una tautologia.

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori-Senza categoria