Contraddizione

Una contraddizione è una proposizione matematica composta che è sempre falsa, qualsiasi sia il valore di verità delle proposizioni che la compongono.

In generale, se dalla composizione di due o più enunciati per mezzo di connettivi logici si ottiene un enunciato falso, allora l'enunciato composto prende il nome di contraddizione.

Come verificare se una proposizione è una contraddizione

Per stabilire se una proposizione composta è una contraddizione è sufficiente costruire la relativa tavola di verità. Se l'ultima colonna della tabella di verità è formata da tutti falso (F), allora la proposizione è una contraddizione.

Per fissare le idee consideriamo il seguente enunciato formato dalla congiunzione tra una proposizione e la sua negazione

Per costruire la tavola di verità disegniamo una tabella avente un numero di colonne pari alla somma tra il numero di proposizioni elementari che formano l'enunciato e il numero di connettivi logici presenti in esso.

L'unica proposizione elementare presente nell'enunciato è e vi sono due connettivi logici: congiunzione e negazione, quindi dobbiamo formare una tabella con 1+2=3 colonne.

Nella prima colonna della tavola di verità riportiamo la proposizione e i suoi possibili valori di verità, che sono V o F.

L'intestazione delle altre due colonne conterrà e tutto l'enunciato composto .

Nella seconda colonna scriviamo i valori di verità dell'enunciato , che ha valori di verità opposti rispetto alla proposizione .

Nell'ultima colonna vanno riportati i valori di verità di , che è vera solo se entrambe le proposizioni e sono vere.

Possiamo così concludere che è una contraddizione, infatti è un enunciato sempre falso.

Esempi di contraddizione

Qui di seguito abbiamo riportato alcuni esempi di contraddizione, con la relativa tavola di verità.

1)

Per costruire la tavola di verità e verificare che si tratta di una contraddizione procediamo per passi:

- costruiamo una tabella con 5 colonne, pari alla somma tra la proposizioni elementari presenti nell'enunciato ( e ) e il numero di connettivi logici (due congiunzioni inclusive e una congiunzione esclusiva).

- Nelle prime due colonne riportiamo tutte le possibili combinazioni di valori di verità delle proposizioni e , che sono (V, V), (V, F), (F, V), (F, F).

- è il connettivo logico di disgiunzione inclusiva, ed è sufficiente che almeno uno dei due enunciati sia vero affinché l'enunciato composto risulti vero. Alla luce di questa definizione possiamo completare terza e quarta colonna della tavola di verità.

- è il connettivo logico di congiunzione esclusiva; un enunciato composto con lo xor è vero solo se i due enunciati hanno valore di verità opposto.

Poiché e hanno gli stessi valori di verità, l'enunciato composto è sempre falso, e quindi è una contraddizione.

2)

Abbiamo un enunciato formato da due proposizioni elementari e quattro connettivi logici, quindi la relativa tavola di verità avrà 2+4=6 colonne.

Le prime due colonne contengono le possibili combinazioni di valori di verità delle proposizioni e , mentre la terza è la negazione della proposizione , che ha valori di verità opposti rispetto a .

L'enunciato , formato col connettivo logico di implicazione materiale, è falso solo quando è vero e è falso.

L'enunciato è vero solo se entrambi gli enunciati e sono veri.

Da ultimo l'enunciato , formato col connettivo logico di coimplicazione materiale, è vero solo quando i due enunciati e hanno lo stesso valore di verità.

Poiché è sempre falso, allora è una contraddizione.

3) Lasciamo a voi il compito di verificare che è un altro esempio di contraddizione.

***

Se una formula enunciativa risulta vera qualsiasi sia il valore di verità delle proposizioni che la compongono si dice che è una tautologia.