Soluzioni
  • Il modus tollens è una regola d'inferenza della Logica Matematica, cioè una forma di ragionamento che permette di dedurre il valore di verità di una nuova proposizione a partire dalla verità di alcune proposizioni.

    Siano p e q due enunciati. Il modus tollens asserisce che se p implica q è un enunciato vero, ed è vera anche la negazione di q, allora la negazione di p è un enunciato vero.

    In simboli:

    [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p}

    \to, \ \wedge sono i due connettivi logici di implicazione materiale e congiunzione, mentre \overline{p} e \overline{q} indicano rispettivamente la negazione dell'enunciato p e dell'enunciato q.

    Esempio di modus tollens

    Consideriamo le due proposizioni:

    p: Luca ha sete.

    q: Luca beve.

    Le loro negazioni sono:

    \overline{p}: Luca non ha sete;

    \overline{q}: Luca non beve.

    La proposizione p \to q equivale a: se Luca ha sete allora Luca beve.

    Secondo la regola del modus tollens, se p \to q è vera e anche \overline{q} è vera, allora \overline{p} è vera.

    Nel nostro esempio: se Luca ha sete allora Luca beve, ma Luca non beve, quindi Luca non ha sete.

    Tavola di verità del modus tollens

    Il modus tollens è un enunciato composto formato a partire dai due enunciati p e q:

    [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p}

    Vediamo come si costruisce la tavola di verità del modus tollens spiegando tutti i passaggi.

    1) Disegniamo una tabella con 7 colonne, pari alla somma tra il numero di proposizioni e il numero di connettivi logici presenti nell'enunciato del modus tollens.

    2) Le prime due colonne devono contenere le proposizioni p e q e i loro possibili valori di verità (V o F), in modo da formare tutte le possibili coppie: (V, V), (V, F), (F, V), (F, F).

    3) Nella terza e nella quarta colonna riportiamo la negazione della proposizione p e la negazione della proposizione q, ricordando che la negazione di un enunciato ha valore di verità opposto rispetto all'enunciato di partenza.

    4) Infine, nelle restanti tre colonne scriviamo i vari enunciati composti, partendo dal più interno fino ad arrivare a quello completo che definisce il modus tollens.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-7} p & q & \overline{p} & \overline{q} & p\to q & (p \to q) \wedge \overline{q} & [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p} \\ \cline{1-7} V & V & F & F & & & \\ \cline{1-7} V & F & F & V & & & \\ \cline{1-7} F & V & V & F & & & \\ \cline{1-7} F & F & V & V & & & \\ \cline{1-7} \end{array}

    5) Nella quinta colonna vanno scritti i valori di verità dell'enunciato p \to q, che è un enunciato composto con il connettivo logico di implicazione materiale, quindi è falso solo se la prima proposizione è vera e la seconda è falsa.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-7} p & q & \overline{p} & \overline{q} & p\to q & (p \to q) \wedge \overline{q} & [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p} \\ \cline{1-7} V & V & F & F & V & & \\ \cline{1-7} V & F & F & V & F & & \\ \cline{1-7} F & V & V & F & V & & \\ \cline{1-7} F & F & V & V & V & & \\ \cline{1-7} \end{array}

    6) Completiamo la sesta colonna riportando i valori di verità dell'enunciato (p \to q) \wedge \overline{q}, composto col connettivo logico di congiunzione. Tale enunciato è vero solo se entrambi gli enunciati (p \to q) e \overline{q} sono veri.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-7} p & q & \overline{p} & \overline{q} & p\to q & (p \to q) \wedge \overline{q} & [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p} \\ \cline{1-7} V & V & F & F & V & F & \\ \cline{1-7} V & F & F & V & F & F & \\ \cline{1-7} F & V & V & F & V & F & \\ \cline{1-7} F & F & V & V & V & V & \\ \cline{1-7} \end{array}

    7) L'enunciato nell'ultima colonna [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p} è quello che descrive il modus tollens ed formato dall'implicazione materiale dei due enunciati [(p \to q) \wedge \overline{q}] e \overline{p}. In quanto tale è falso solo se [(p \to q) \wedge \overline{q}] è vero e e \overline{p} è falso.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-7} p & q & \overline{p} & \overline{q} & p\to q & (p \to q) \wedge \overline{q} & [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p} \\ \cline{1-7} V & V & F & F & V & F & V \\ \cline{1-7} V & F & F & V & F & F & V\\ \cline{1-7} F & V & V & F & V & F & V\\ \cline{1-7} F & F & V & V & V & V & V\\ \cline{1-7} \end{array}

    Quella così ottenuta è la tavola di verità del modus tollens, grazie alla quale possiamo concludere che il modus tollens è una tautologia, infatti è un enunciato sempre vero.

    Osservazione sulla corretta formulazione del modus tollens

    Ricordiamo che il modus tollens afferma che: se p implica q è un enunciato vero, ed è vera anche la negazione di q, allora la negazione di p è un enunciato vero.

    La sua corretta formulazione con i simboli dovrebbe essere la seguente:

    [(p \to q) \wedge \overline{q}] \Rightarrow \overline{p}

    ossia l'ultima implicazione dovrebbe essere un'implicazione logica e non un'implicazione materiale.

    Tuttavia, poiché il modus tollens è una tautologia, i due simboli possono essere usati indistintamente.

    Per approfondire questo argomento rimandiamo alla lettura della nostra pagina sull'implicazione.

    ***

    Nel salutarvi vi consigliamo la lettura dei seguenti articoli, dedicati ad altre regole di deduzione:

    - il principio del terzo escluso;

    - il modus ponens.

    Risposta di Galois
 
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