Soluzioni
  • Un triangolo 30 60 90 è un triangolo in cui i tre angoli interni misurano 30°, 60° e 90°, dunque è un triangolo rettangolo avente i due angoli acuti ampi 30° e 60°.

    Risolvere un triangolo vuol dire trovare la lunghezza dei suoi tre lati, la misura del perimetro, l'ampiezza dei tre angoli interni e l'area. Come vedremo negli esercizi a seguire, per risolvere un triangolo 30 60 90 è sufficiente conoscere la misura di un solo lato.

     

    Triangolo 30 60 90

    Un triangolo con angoli di 30°, 60° e 90°.

     

    Formule triangolo 30 60 90

    Prima di elencare le formule dei triangoli 30 60 90 è bene specificare i simboli che useremo:

    i è l'ipotenusa ed è il lato del triangolo opposto all'angolo retto;

    c_1 è il cateto minore e coincide con il lato opposto all'angolo di 30°;

    c_2 è il cateto maggiore, nonché il lato opposto all'angolo di 60°;

    2p indica il perimetro del triangolo e A la sua area.

     

    Ipotenusa dal cateto minore

    i = 2c_1

    Ipotenusa dal cateto maggiore

    i=\frac{2c_2}{\sqrt{3}}

    Cateto minore dall'ipotenusa

    c_1=\frac{i}{2}

    Cateto minore dal cateto maggiore

    c_1=\frac{c_2}{\sqrt{3}}

    Cateto maggiore dall'ipotenusa

    c_2=\frac{\sqrt{3}i}{2}

    Cateto maggiore dal cateto minore

    c_2=\sqrt{3}c_1

    Perimetro

    2p=i+c_1+c_2

    Area

    A=\frac{c_1 \times c_2}{2}

    Teorema di Pitagora

    i^2=c_1^2+c_2^2

     

    Le formule del triangolo 30 60 90 discendono dai teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo, quindi chi ha già studiato Trigonometria può evitare di impararle a memoria.

    Per leggere tutte le proprietà e le formule valide per un qualsiasi triangolo rettangolo potete consultare la pagina del link.

    Esercizi svolti triangolo 30 60 90

    Vediamo una serie di esercizi svolti sul triangolo 30 60 90, in cui potrete notare che per ottenere tutte le informazioni richieste basta conoscere la misura di un solo lato.

    Risolvere un triangolo 30 60 90 con l'ipotenusa

    Se è nota la misura dell'ipotenusa di un triangolo 30 60 90, si può calcolare:

    - la misura del cateto minore dividendo la misura dell'ipotenusa per 2

    c_1=\frac{i}{2}

    - la lunghezza del cateto maggiore moltiplicando la misura dell'ipotenusa per la radice quadrata di 3 e dividendo il risultato per 2

    c_2=\frac{\sqrt{3}i}{2}

    Successivamente si possono calcolare perimetro e area usando le relative formule.

    Esempio

    Un triangolo ha gli angoli interni ampi 30°, 60° e 90°, e la sua ipotenusa misura 4 metri. Risolvere il triangolo.

    Partiamo dal calcolo delle misure dei due cateti del triangolo rettangolo

    \\ c_1=\frac{i}{2} = \frac{4 \mbox{ m}}{2} = 2 \mbox{ m} \\ \\ \\ c_2=\frac{\sqrt{3}i}{2} = \frac{\sqrt{3} \times (4 \mbox{ m})}{2} = 2\sqrt{3} \mbox{ m} \simeq 3,5 \mbox{ m}

    Avendo determinato la misura dei tre lati, possiamo calcolare perimetro e area:

    \\ 2p = i+c_1+c_2 \simeq 4 \mbox{ m} + 2 \mbox{ m} + 3,5 \mbox{ m} \simeq 9,5 \mbox{ m} \\ \\ A=\frac{c_1 \times c_2}{2} \simeq \frac{(2 \mbox{ m}) \times (3,5 \mbox{ m})}{2} \simeq 3,5 \mbox{ m}^2

    Risolvere un triangolo 30 60 90 con il cateto minore

    Se conosciamo la lunghezza del cateto minore di un triangolo 30 60 90, possiamo trovare:

    - la misura dell'ipotenusa, che è il doppio della lunghezza del cateto minore

    i=2c_1

    - la misura del cateto maggiore dividendo la lunghezza del cateto minore per la radice di 3.

    c_2=\frac{c_1}{\sqrt{3}}

    Fatto ciò è immediato calcolare perimetro e area.

    Esempio

    Risolvere un triangolo 30 60 90 sapendo che il cateto minore misura 8 centimetri.

    Calcoliamo le misure di ipotenusa e cateto maggiore usando le relative formule

    \\ i = 2c_1 = 2 \times (8 \mbox{ cm}) = 16 \mbox{ cm} \\ \\ c_2 = \frac{c_1}{\sqrt{3}} = \frac{8 \mbox{ cm}}{\sqrt{3}} \simeq 4,6 \mbox{ cm}

    Possiamo così trovare perimetro e area del triangolo

    \\ 2p = i+c_1+c_2 \simeq 16 \mbox{ cm} + 8 \mbox{ cm} + 4,6 \mbox{ cm} \simeq 28,6 \mbox{ cm} \\ \\ A=\frac{c_1 \times c_2}{2} \simeq \frac{(8 \mbox{ cm}) \times (4,6 \mbox{ cm})}{2} \simeq 18,4 \mbox{ cm}^2

    Risolvere un triangolo 30 60 90 con il cateto maggiore

    Conoscendo la misura del cateto maggiore di un triangolo 30 60 90 si può calcolare:

    - la lunghezza dell'ipotenusa moltiplicando la misura del cateto maggiore per 2 e dividendo il risultato per la radice di 3

    i=\frac{2c_2}{\sqrt{3}}

    - la misura del cateto minore dividendo la lunghezza del cateto maggiore per la radice quadrata di 3

    c_1=\frac{c_2}{\sqrt{3}}

    A questo punto si può facilmente trovare perimetro e area.

    Esempio

    In un triangolo rettangolo gli angoli acuti sono ampi 30° e 60° e il cateto maggiore misura 4√3 decimetri. Risolvere il triangolo.

    Troviamo le misure di ipotenusa e cateto minore applicando le relative formule

    \\ i=\frac{2c_2}{\sqrt{3}} = \frac{2 \times (4 \sqrt{3} \mbox{ dm})}{\sqrt{3}} = 8 \mbox{ dm} \\ \\ \\ c_1=\frac{c_2}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3} \mbox{ dm}}{\sqrt{3}} = 4 \mbox{ dm}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare perimetro e area del triangolo

    \\ 2p = i+c_1+c_2 = 8 \mbox{ dm} + 4 \mbox{ dm} + 4\sqrt{3} \mbox{ dm} \simeq 18,9 \mbox{ dm} \\ \\ A=\frac{c_1 \times c_2}{2} = \frac{(4 \mbox{ dm}) \times (4\sqrt{3} \mbox{ dm})}{2} \simeq 13,9 \mbox{ dm}^2

    ***

    Se volete continuare ad allenarvi vi suggeriamo di dare un'occhiata alla nostra scheda di esercizi svolti sul triangolo rettangolo. ;)

    Risposta di Galois
 
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