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  • L'implicazione è un legame tra proposizioni che mette in relazione i valori di verità di due proposizioni matematiche, dette antecedente e conseguente. Esistono due tipi di implicazione, spesso confusi tra loro: l'implicazione materiale indicata col simbolo → e l'implicazione logica, il cui simbolo è ⇒.

    Implicazione materiale

    L'implicazione materiale è un connettivo logico, il cui simbolo è una freccia singola che punta a destra (→) e si legge implica.

    Se p e q sono due enunciati, componendoli col connettivo logico di implicazione materiale si ottiene l'enunciato composto

    p \to q

    che si legge:

    se p allora q

    Tale proposizione composta è falsa solo se il primo enunciato è vero e il secondo è falso.

    In un'implicazione materiale, il primo enunciato si dice antecedente, il secondo conseguente.

    La tavola di verità dell'implicazione materiale è la seguente:

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} p & q & p \to q \\ \cline{1-3} V & V & V \\ \cline{1-3} V & F & F \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} F & F & V \\ \cline{1-3} \end{array}

    Per capire la definizione di implicazione materiale e la relativa tavola di verità dobbiamo ricordare il significato che si dà nel linguaggio comune a una frase del tipo "se p allora q".

    Per fissare le idee consideriamo le due proposizioni

    p: piove

    q: la strada è bagnata.

    Unendole col connettivo logico di implicazione materiale si ottiene la proposizione composta:

    p\rightarrow q: se piove allora la strada è bagnata

    Con un'espressione del genere si intende un nesso causa-effetto tra p e q, cioè se si verifica la causa p (piove) allora segue l'effetto q (la strada è bagnata).

    Per questo motivo, se p e q sono proposizioni vere, allora è vero anche l'enunciato p \to q, e ciò giustifica la prima riga della tavola di verità.

    Quando si verifica la causa (piove) deve necessariamente verificarsi l'effetto (la strada è bagnata), quindi se la prima proposizione è vera e la seconda è falsa, l'implicazione è falsa, ed è proprio quanto riportato nella seconda riga della tavola di verità.

    Infine, nel caso in cui la causa p sia falsa, nulla si può dire sull'effetto q. Nel nostro esempio, la strada potrebbe essere bagnata anche dopo una notte di forte umidità, quindi anche se non piove. È proprio questo il motivo per cui nelle ultime due righe della tavola di verità in corrispondenza della falsità di p troviamo il valore vero nella colonna p \to q.

    È bene tuttavia precisare che il valore di verità dell'implicazione materiale p \to q non dipende dal significato dei singoli enunciati.

    L'implicazione p \to q è falsa quando p è vera e q è falsa, mentre è vera in tutti gli altri casi, anche se gli enunciati p e q sono tra loro disconnessi.

    Ne è un esempio l'enunciato:

    se Roma è la capitale della Francia allora 3 è un numero primo

    Poiché

    p: (Roma è la capitale della Francia) è falso;

    q: (3 è un numero primo) è vero;

    ne consegue che

    p \to q (se Roma è la capitale della Francia allora 3 è un numero primo) è un enunciato vero.

    Implicazione logica

    L'implicazione logica si indica con una freccia doppia che punta a destra (⇒) e non è un connettivo logico. Essa esprime, infatti, una relazione tra predicati.

    Ricordiamo brevemente che un predicato è una proposizione che dipende da una o più variabili, appartenenti a un determinato dominio.

    p(x): x è maggiore di 10, con x \in \mathbb{R};

    q(x): x è un numero primo, con x \in \mathbb{N};

    r(x): x ha 4 lati, con x appartenente all'insieme dei poligoni;

    sono tutti esempi di predicati, il cui valore di verità dipende dal valore della variabile x.

    Ad esempio, il predicato p(x) è vero se x è un numero reale maggiore di 10, è falso se x è un numero reale minore di 10.

    Chiarito ciò possiamo dare la definizione di implicazione logica: siano p(x) e q(x) due predicati, con x appartenente a un opportuno dominio. Se ogni valore di x che rende vero p(x) rende vero anche q(x), si dice che p(x) implica logicamente q(x), e si scrive

    p(x) \Rightarrow q(x)

    Se vale l'implicazione logica p(x) \Rightarrow q(x) si dice che:

    p(x) è condizione sufficiente per il verificarsi di q(x);

    q(x) è condizione necessaria per il verificarsi di p(x).

    Infine, se invertendo i due predicati p(x) e q(x) si ottiene un'altra implicazione logica, ossia se

    p(x) \Rightarrow q(x) e q(x) \Rightarrow p(x)

    allora i due predicati sono logicamente equivalenti e si usa la notazione

    p(x) \Leftrightarrow q(x)

    In tal caso p(x) è condizione necessaria e sufficiente per il verificarsi di q(x).

    L'implicazione logica è alla base della definizione di teorema e specifica il legame esistente tra ipotesi e tesi.

    Esempio di implicazione logica

    Consideriamo i due predicati

    p(x): x è un numero pari,

    q(x): x è divisibile per 2,

    con x appartenente all'insieme dei numeri naturali.

    Poiché ogni numero pari è un numero divisibile per 2, p(x) \Rightarrow q(x) è un'implicazione logica.

    Osserviamo inoltre che ogni numero divisibile per 2 è un numero pari, quindi anche q(x) \Rightarrow p(x) è un'implicazione logica.

    I due predicati in definitiva si equivalgono: p(x) \Leftrightarrow q(x).

    Differenza tra implicazione materiale e implicazione logica

    La differenza tra implicazione materiale e implicazione logica è la seguente:

    - un'implicazione materiale è un connettivo logico che permette di costruire l'enunciato composto p \to q a partire dai due enunciati p e q. Il valore di verità di un enunciato composto con l'implicazione materiale dipende dai valori di verità degli enunciati che lo compongono.

    - Un'implicazione logica non è un connettivo logico, bensì una relazione tra predicati. La scrittura p(x) \Rightarrow q(x) non definisce un nuovo predicato, ma afferma che ogni valore di x che rende vero p(x) rende vero anche q(x).

    Solo nel caso in cui p(x) \to q(x) è un predicato vero qualsiasi sia il valore della x, allora si possono usare indistintamente i simboli di implicazione materiale e implicazione logica.

    ***

    Non c'è altro da aggiungere, se non consigliarvi la lettura della nostra pagina su connettivi logici e tavole di verità. ;)

    Risposta di Galois
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