Implicazione

L'implicazione è un legame tra proposizioni che mette in relazione i valori di verità di due proposizioni matematiche, dette antecedente e conseguente. Esistono due tipi di implicazione, spesso confusi tra loro: l'implicazione materiale indicata col simbolo → e l'implicazione logica, il cui simbolo è ⇒.

Implicazione materiale

L'implicazione materiale è un connettivo logico, il cui simbolo è una freccia singola che punta a destra (→) e si legge implica.

Se sono due enunciati, componendoli col connettivo logico di implicazione materiale si ottiene l'enunciato composto

che si legge:

se allora

Tale proposizione composta è falsa solo se il primo enunciato è vero e il secondo è falso.

In un'implicazione materiale il primo enunciato si dice antecedente, il secondo conseguente.

La tavola di verità dell'implicazione materiale è la seguente:

Per capire la definizione di implicazione materiale e la relativa tavola di verità dobbiamo ricordare il significato che si dà nel linguaggio comune a una frase del tipo "se allora ".

Per fissare le idee consideriamo le due proposizioni

: piove

: la strada è bagnata.

Unendole col connettivo logico di implicazione materiale si ottiene la proposizione composta:

: se piove allora la strada è bagnata

Con un'espressione del genere si intende un nesso causa-effetto tra e , cioè se si verifica la causa (piove) allora segue l'effetto (la strada è bagnata).

Per questo motivo, se e sono proposizioni vere, allora è vero anche l'enunciato , e ciò giustifica la prima riga della tavola di verità.

Quando si verifica la causa (piove) deve necessariamente verificarsi l'effetto (la strada è bagnata), quindi se la prima proposizione è vera e la seconda è falsa, l'implicazione è falsa, ed è proprio quanto riportato nella seconda riga della tavola di verità.

Infine, nel caso in cui la causa sia falsa, nulla si può dire sull'effetto . Nel nostro esempio la strada potrebbe essere bagnata anche dopo una notte di forte umidità, quindi anche se non piove. È proprio questo il motivo per cui nelle ultime due righe della tavola di verità in corrispondenza della falsità di troviamo il valore vero nella colonna .

È bene tuttavia precisare che il valore di verità dell'implicazione materiale non dipende dal significato dei singoli enunciati.

L'implicazione è falsa quando è vera e è falsa, mentre è vera in tutti gli altri casi, anche se gli enunciati e sono tra loro disconnessi.

Ne è un esempio l'enunciato:

se Roma è la capitale della Francia allora 3 è un numero primo

Poiché

: (Roma è la capitale della Francia) è falso;

: (3 è un numero primo) è vero;

ne consegue che

(se Roma è la capitale della Francia allora 3 è un numero primo) è un enunciato vero.

Implicazione logica

L'implicazione logica si indica con una freccia doppia che punta a destra (⇒) e non è un connettivo logico. Essa esprime, infatti, una relazione tra predicati.

Ricordiamo brevemente che un predicato è una proposizione che dipende da una o più variabili, appartenenti a un determinato dominio.

: è maggiore di 10, con ;

: è un numero primo, con ;

: ha 4 lati, con appartenente all'insieme dei poligoni;

sono tutti esempi di predicati, il cui valore di verità dipende dal valore della variabile .

Ad esempio, il predicato è vero se è un numero reale maggiore di 10, è falso se è un numero reale minore di 10.

Chiarito ciò possiamo dare la definizione di implicazione logica: siano e due predicati, con appartenente a un opportuno dominio. Se ogni valore di che rende vero rende vero anche , si dice che implica logicamente , e si scrive

Se vale l'implicazione logica si dice che:

è condizione sufficiente per il verificarsi di ;

è condizione necessaria per il verificarsi di .

Infine, se invertendo i due predicati e si ottiene un'altra implicazione logica, ossia se

e

allora i due predicati sono logicamente equivalenti e si usa la notazione

In tal caso è condizione necessaria e sufficiente per il verificarsi di .

L'implicazione logica è alla base della definizione di teorema e specifica il legame esistente tra ipotesi e tesi.

Esempio di implicazione logica

Consideriamo i due predicati

: è un numero pari,

: è divisibile per 2,

con appartenente all'insieme dei numeri naturali.

Poiché ogni numero pari è un numero divisibile per 2, è un'implicazione logica.

Osserviamo inoltre che ogni numero divisibile per 2 è un numero pari, quindi anche è un'implicazione logica.

I due predicati in definitiva si equivalgono: .

Differenza tra implicazione materiale e implicazione logica

La differenza tra implicazione materiale e implicazione logica è la seguente:

- un'implicazione materiale è un connettivo logico che permette di costruire l'enunciato composto a partire dai due enunciati e . Il valore di verità di un enunciato composto con l'implicazione materiale dipende dai valori di verità degli enunciati che lo compongono.

- Un'implicazione logica non è un connettivo logico, bensì una relazione tra predicati. La scrittura non definisce un nuovo predicato, ma afferma che ogni valore di che rende vero rende vero anche .

Solo nel caso in cui è un predicato vero qualsiasi sia il valore della , allora si possono usare indistintamente i simboli di implicazione materiale e implicazione logica.

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Non c'è altro da aggiungere, se non consigliarvi la lettura della nostra pagina su connettivi logici e tavole di verità. ;)