Soluzioni
  • Il modus ponens è una regola d'inferenza alla base del ragionamento logico deduttivo, ossia una regola di deduzione mediante la quale, dalla verità di alcune proposizioni, si può dedurre la verità di una nuova proposizione.

    Consideriamo due enunciati p e q. Il modus ponens afferma che:

    se p implica q è un enunciato vero, e anche p è vero, allora q è un enunciato vero.

    Usando i connettivi logici possiamo esprimere il modus ponens nella seguente forma:

    [(p \to q) \wedge p] \to q

    Esempio di modus ponens

    Consideriamo le due proposizioni:

    p: oggi piove;

    q: la strada è bagnata.

    La proposizione p \to q afferma: se oggi piove allora la strada è bagnata.

    Secondo la regola del modus ponens, se p \to q è vera, e anche p è vera, allora q è vera.

    Nel nostro esempio: se oggi piove allora la strada è bagnata, e oggi piove, dunque la strada è bagnata.

    Tavola di verità del modus ponens

    Il modus ponens è a tutti gli effetti una formula enunciativa, ossia un enunciato composto, per il quale si può costruire la relativa tavola di verità.

    Scriviamo la formulazione del modus ponens con i connettivi logici

    [(p \to q) \wedge p] \to q

    e costruiamone la tavola di verità nel modo seguente:

    - disegniamo una tabella con 5 colonne, pari alla somma tra il numero di proposizioni e il numero di connettivi logici presenti nell'enunciato del modus ponens.

    - Nelle prime due colonne riportiamo le proposizioni p e q e i loro possibili valori di verità (V o F), in modo da formare tutte le possibili coppie: (V, V), (V, F), (F, V), (F, F).

    Nelle restanti tre colonne scriviamo i vari enunciati composti, a partire dal più interno e fino ad arrivare a quello completo.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5} p & q & p \to q & (p\to q) \wedge p & [(p \to q) \wedge p] \to q \\ \cline{1-5} V & V & & & \\ \cline{1-5} V & F & & & \\ \cline{1-5} F & V & & & \\ \cline{1-5} F & F & & & \\ \cline{1-5} \end{array}

    Per completare la terza colonna ricaviamo i valori di verità dell'enunciato p \to q, ricordando che un enunciato composto con il connettivo logico di implicazione materiale è falso se la prima proposizione è vera e la seconda è falsa, mentre è vero in tutti gli altri casi.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5} p & q & p \to q & (p\to q) \wedge p & [(p \to q) \wedge p] \to q \\ \cline{1-5} V & V & V & & \\ \cline{1-5} V & F & F & & \\ \cline{1-5} F & V & V & & \\ \cline{1-5} F & F & V & & \\ \cline{1-5} \end{array}

    Completiamo la quarta colonna riportando i valori di verità dell'enunciato (p \to q) \wedge p che è vero solo se entrambi gli enuciati (p \to q) e p sono veri.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5} p & q & p \to q & (p\to q) \wedge p & [(p \to q) \wedge p] \to q \\ \cline{1-5} V & V & V & V & \\ \cline{1-5} V & F & F & F & \\ \cline{1-5} F & V & V & F & \\ \cline{1-5} F & F & V & F & \\ \cline{1-5} \end{array}

    L'enunciato nell'ultima colonna [(p \to q) \wedge p] \to q è quello che descrive il modus ponens ed è falso solo se [(p \to q) \wedge p] è vero e q è falso.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5} p & q & p \to q & (p\to q) \wedge p & [(p \to q) \wedge p] \to q \\ \cline{1-5} V & V & V & V & V\\ \cline{1-5} V & F & F & F & V\\ \cline{1-5} F & V & V & F & V\\ \cline{1-5} F & F & V & F & V\\ \cline{1-5} \end{array}

    La tavola di verità del modus ponens ci permette di affermare che si tratta di una tautologia, infatti è un enunciato sempre vero.

    Osservazione sulla corretta formulazione del modus ponens

    Ricordiamo che il modus ponens afferma che: se p implica q è un enunciato vero, e anche p è vero, allora q è un enunciato vero.

    La sua corretta formulazione con i connettivi logici è la seguente:

    [(p \to q) \wedge p] \Rightarrow q

    in altri termini, l'ultima implicazione dovrebbe essere un'implicazione logica e non un'implicazione materiale.

    Nonostante ciò il modus ponens è una tautologia, quindi i due simboli di implicazione logica e implicazione materiale possono essere usati indistintamente.

    Per approfondire questo argomento rimandiamo alla lettura della nostra pagina sull'implicazione.

    ***

    Se volete leggere a proposito delle altre principali regole di deduzione:

    - il principio del terzo escluso;

    - il modus tollens.

    Risposta di Galois
 
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