Soluzioni
  • Una tautologia è un enunciato composto che risulta sempre vero, qualsiasi sia il valore di verità delle proposizioni che lo compongono; il termine tautologia deriva dal greco ταὐτό + λογία e significa stesso discorso.

    Per indicare che una formula enunciativa è una tautologia si usa il simbolo \models.

    Tautologia e tavole di verità

    Per verificare se un enunciato composto è una tautologia basta costruire la relativa tavola di verità; se l'ultima colonna della tavola di verità è formata da tutti vero, allora abbiamo a che fare con una tautologia.

    A titolo di esempio consideriamo il seguente enunciato

    (p \wedge q) \to p

    Per scriverne la tavola di verità disegniamo una tabella con un numero di colonne uguale alla somma tra il numero di proposizioni che formano l'enunciato composto e il numero di connettivi logici che lo compongono.

    Le proposizioni di partenza sono p e q e i connettivi logici sono due: congiunzione e implicazione, quindi dobbiamo formare una tabella con 2+2=4 colonne.

    Nelle prime due colonne riportiamo le proposizioni p e q e le varie combinazioni di valori di verità in modo da formare tutte le possibili coppie, che sono (V, V), (V, F), (F, V), (F, F).

    Nelle restanti due colonne riportiamo i vari enunciati composti.

    \begin{array}{|c|c|c|c|} \cline{1-4} p & q & p \wedge q & (p \wedge q) \to p \\ \cline{1-4} V & V & & \\ \cline{1-4} V & F & & \\ \cline{1-4} F & V & & \\ \cline{1-4} F & F & & \\ \cline{1-4} \end{array}

    Completiamo la tavola di verità: nella terza colonna scriviamo i valori di verità dell'enunciato p \wedge q, che è vero solo se entrambi gli enunciati p e q sono veri

    \begin{array}{|c|c|c|c|} \cline{1-4} p & q & p \wedge q & (p \wedge q) \to p \\ \cline{1-4} V & V & V & \\ \cline{1-4} V & F & F & \\ \cline{1-4} F & V & F & \\ \cline{1-4} F & F & F & \\ \cline{1-4} \end{array}

    Nell'ultima colonna vanno riportati i valori di verità di (p \wedge q) \to p, che è falso solo se il primo enunciato (p \wedge q) è vero e il secondo enunciato (p) è falso.

    \begin{array}{|c|c|c|c|} \cline{1-4} p & q & p \wedge q & (p \wedge q) \to p \\ \cline{1-4} V & V & V & V \\ \cline{1-4} V & F & F & V\\ \cline{1-4} F & V & F & V\\ \cline{1-4} F & F & F & V\\ \cline{1-4} \end{array}

    Poiché (p \wedge q) \to p è sempre vero possiamo concludere che è una tautologia.

    Esempi di tautologia

    Oltre all'enunciato composto appena visto esistono molti altri esempi di tautologia. Qui di seguito ne abbiamo riportato alcuni, indicando di volta in volta la relativa tavola di verità.

    1) Principio del terzo escluso: p \vee \overline{p}

    Per costruire la tavola di verità e verificare che si tratta di una tautologia ricordiamo che:

    - una proposizione p può essere vera oppure falsa (in accordo col principio di bivalenza),

    - la sua negazione \overline{p} ha valore di verità opposto,

    - \vee è il connettivo logico di disgiunzione inclusiva, ed è sufficiente che almeno uno dei due enunciati sia vero affinché l'enunciato composto risulti vero.

    Alla luce di ciò ecco la tavola di verità dell'enunciato p \vee \overline{p}, la quale conferma che si tratta di una tautologia

    \begin{array}{|c|c|c|} \cline{1-3} p & \overline{p} & p \vee \overline{p} \\ \cline{1-3} V & F & V \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} \end{array}

    2) Modus tollens: [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p}

    Il modus tollens è un enunciato composto formato da 2 proposizioni e 4 connettivi logici, quindi la relativa tavola di verità è formata da 2+4=6 colonne.

    Le prime due colonne contengono le possibili combinazioni di valori di verità delle proposizioni p e q, mentre terza e quarta colonna sono, rispettivamente, la negazione della proposizione p e la negazione della proposizione q.

    L'enunciato p \to q, formato col connettivo logico di implicazione materiale, è falso solo quando p è vero e q è falso.

    L'enunciato (p \to q) \wedge \overline{q} è vero solo se entrambi gli enunciati (p \to q) e \overline{q} sono veri.

    Infine, l'enunciato [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p} è falso quando [(p \to q) \wedge \overline{q}] è vero e \overline{p} è falso.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-7} p & q & \overline{p} & \overline{q} & p\to q & (p \to q) \wedge \overline{q} & [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p} \\ \cline{1-7} V & V & F & F & V & F & V \\ \cline{1-7} V & F & F & V & F & F & V \\ \cline{1-7} F & V & V & F & V & F & V \\ \cline{1-7} F & F & V & V & V & V & V \\ \cline{1-7} \end{array}

    Visto che [(p \to q) \wedge \overline{q}] \to \overline{p} è sempre vero allora è una tautologia.

    3) Modus ponens: [(p \to q) \wedge p] \to q

    [(p \to q) \wedge p] \to q è formato da 2 proposizioni e 3 connettivi connettivi logici, quindi la relativa tavola di verità ha 2+3=5 colonne.

    Nelle prime due colonne abbiamo riportato le quattro possibili coppie di valori di verità delle proposizioni p e q, per poi ricavare i valori di verità degli enunciati composti servendoci delle tabelle di verità dei connettivi logici di implicazione e congiunzione.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5} p & q & p \to q & (p\to q) \wedge p & [(p \to q) \wedge p] \to q \\ \cline{1-5} V & V & V & V & V \\ \cline{1-5} V & F & F & F & V \\ \cline{1-5} F & V & V & F & V \\ \cline{1-5} F & F & V & F & V\\ \cline{1-5} \end{array}

    4) Legge di contrapposizione (p \to q) \to (\overline{q} \to \overline{p})

    Lasciamo a voi il compito di verificare che la relativa tavola di verità è la seguente

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \cline{1-7} p & q & \overline{p} & \overline{q} & p\to q & \overline{q} \to \overline{p} & (p \to q) \to (\overline{q} \to \overline{p}) \\ \cline{1-7} V & V & F & F & V & V & V \\ \cline{1-7} V & F & F & V & F & F & V \\ \cline{1-7} F & V & V & F & V & V & V \\ \cline{1-7} F & F & V & V & V & V & V \\ \cline{1-7} \end{array}

    Quindi anche l'enunciato (p \to q) \to (\overline{q} \to \overline{p}) è una tautologia.

    ***

    Se una formula enunciativa risulta falsa qualunque sia il valore di verità delle proposizioni che la compongono si dice che è una contraddizione.

    Risposta di Galois
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