Soluzioni
  • Con diagonale del trapezio isoscele ci si riferisce indifferentemente a uno dei due segmenti che uniscono una coppia di vertici non consecutivi. In un qualsiasi trapezio isoscele le due diagonali sono congruenti.

    Per calcolare la misura della diagonale di un trapezio isoscele si possono usare diverse formule a seconda dei dati di cui si dispone.

     

    Perimetro trapezio isoscele 

    Formule per la diagonale del trapezio isoscele

    Nella seguente tabella abbiamo riportato tutte le formule per il calcolo della diagonale del trapezio isoscele. Riguardo ai simboli utilizzati, abbiamo indicato con d la diagonale, con b la base minore, con B la base maggiore, con h l'altezza e con L il lato obliquo.

     

    Diagonale trapezio isoscele con basi e altezza

    d=\sqrt{\left(\frac{B+b}{2}\right)^2 + h^2}

    Diagonale trapezio isoscele con basi e lato obliquo

    d=\sqrt{(B \times b) + L^2}

     

    Per tutte le altre formule del trapezio isoscele, incluse le inverse e le varie proprietà, vi rimandiamo alla pagina del link.

    Esercizi svolti sulla diagonale del trapezio isoscele

    Passiamo alla pratica: vi proponiamo una serie di esercizi delle tipologie più ricorrenti, in cui abbiamo commentato i vari passaggi e svolto tutti i calcoli.

    Calcolo diagonale trapezio isoscele con basi e altezza

    Per calcolare la diagonale di un trapezio isoscele di cui si conoscono la misura delle due basi e dell'altezza useremo la seguente formula

    d=\sqrt{\left(\frac{B+b}{2}\right)^2 + h^2}

    Essa discende dal teorema di Pitagora: in un trapezio isoscele la diagonale è infatti l'ipotenusa del triangolo rettangolo avente come cateti l'altezza h e la differenza tra la base maggiore e la semidifferenza delle basi

    B - \frac{B-b}{2} = \frac{2B-B+b}{2} = \frac{B+b}{2}

    Esempio

    Calcolare la diagonale di un trapezio isoscele in cui l'altezza è di 8 cm e le basi misurano, rispettivamente, 20 e 10 centimetri.

    \\ d=\sqrt{\left(\frac{B+b}{2}\right)^2 + h^2}=\sqrt{\left(\frac{(20 \mbox{ cm}) + (10 \mbox{ cm})}{2}\right)^2 + (8 \mbox{ cm})^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{(15 \mbox{ cm})^2 + 64 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{225 \mbox{ cm}^2 + 64 \mbox{ cm}^2} = \sqrt{289 \mbox{ cm}^2} = 17 \mbox{ cm}

    Calcolo diagonale trapezio isoscele con basi e lato obliquo

    Per trovare la misura della diagonale di un trapezio isoscele di cui sono note la misura delle basi e quella del lato obliquo si deve estrarre la radice quadrata della somma tra il prodotto tra le basi e il quadrato del lato obliquo. In formule:

    d=\sqrt{(B \times b) + L^2}

    Esempio

    Le basi di un trapezio isoscele misurano 19 e 5 decimetri e il lato obliquo è di 7 dm. Calcolare la misura della diagonale.

    \\ d=\sqrt{(B \times b) + L^2} = \sqrt{((19 \mbox{ dm}) \times (5 \mbox{ dm})) + (7 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ \sqrt{95 \mbox{ dm}^2 + 49 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{144 \mbox{ dm}^2} = 12 \mbox{ dm}

    Calcolo diagonale trapezio isoscele con area

    L'area del trapezio isoscele non è un dato sufficiente per il calcolo della misura della diagonale. In tal caso il testo del problema deve fornirci un ulteriore dato, come ad esempio la misura dell'altezza.

    Esempio

    Calcolare la diagonale di un trapezio isoscele sapendo che la sua area è di 60 metri quadrati e che l'altezza misura 5 metri.

    Invertendo la formula dell'area

    A=\frac{(b+B) \times h}{2}

    possiamo ricavare la semisomma delle basi

    \frac{B+b}{2} = \frac{A}{h} = \frac{60 \mbox{ m}^2}{5 \mbox{ m}} = 12 \mbox{ m}

    Abbiamo tutto quello che ci serve per calcolare la diagonale

    \\ d=\sqrt{\left(\frac{B+b}{2}\right)^2 + h^2}=\sqrt{(12 \mbox{ m})^2 + (5 \mbox{ m})^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{144 \mbox{ m}^2 + 25 \mbox{ m}^2} = \sqrt{169 \mbox{ m}^2} = 13 \mbox{ m}

    Calcolo diagonale trapezio isoscele con perimetro

    Se si conosce la misura del perimetro, per calcolare la diagonale del trapezio isoscele bisogna disporre di altre informazioni, come ad esempio:

    - le misure del lato obliquo e dell'altezza;

    - la misura del lato obliquo e una relazione tra base maggiore e base minore.

    Esempio

    Il perimetro di un trapezio isoscele è di 220 millimetri, mentre lato obliquo e altezza misurano, rispettivamente, 45 mm e 72 mm. Calcolare la misura della diagonale.

    Scriviamo i dati forniti dal testo del problema

    \\ 2p = 220 \mbox{ mm} \\ \\ L = 45 \mbox{ mm} \\ \\ h = 72 \mbox{ mm}

    Dalla formula del perimetro del trapezio isoscele

    2p = b+B+2L

    si può ricavare la somma delle basi

    b+B=2p - 2L=220 \mbox{ mm} - 2 \times (45 \mbox{ mm}) = 220 \mbox{ mm} - 90 \mbox{ mm} = 130 \mbox{ mm}

    Possiamo infine calcolare la misura della diagonale servendoci della relativa formula

    \\ d=\sqrt{\left(\frac{B+b}{2}\right)^2 + h^2}=\sqrt{\left(\frac{130 \mbox{ mm}}{2}\right)^2 + (72 \mbox{ mm})^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{(65 \mbox{ mm})^2 + 5184 \mbox{ mm}^2} = \sqrt{4225 \mbox{ mm}^2 + 5184 \mbox{ mm}^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{9409 \mbox{ mm}^2} = 97 \mbox{ mm}

    ***

    È tutto! Continuate a esercitarvi con i nostri esercizi svolti sul trapezio isoscele. ;)

    Risposta di Galois
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