Soluzioni
  • XOR indica la disgiunzione esclusiva, uno dei connettivi logici binari usati per comporre tra loro due proposizioni matematiche; il termine XOR deriva da eXclusive OR, traduzione inglese di OR esclusivo.

    Invece del simbolo XOR, per indicare il connettivo logico di disgiunzione esclusiva si preferisce usare il simbolo \dot{\vee} leggendolo xor.

    Tavola di verità dello XOR

    Se p e q sono due enunciati, l'enunciato composto

    p \dot{\vee} q

    (p xor q) è un enunciato vero solo se le due proposizioni che lo compongono hanno valore di verità opposto.

    In alternativa, possiamo dire che p xor q è un enunciato vero se, e solo se, una sola tra le proposizioni p e q è vera.

    La tavola di verità del connettivo XOR è quindi data da

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} p & q & p \dot{\vee} q \\ \cline{1-3} V & V & F \\ \cline{1-3} V & F & V \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} F & F & F \\ \cline{1-3} \end{array}

    Esempio di utilizzo del connettivo XOR

    Dati i due enunciati:

    p: il trapezio ha cinque lati;

    q: 3 è un numero primo.

    Qual è il valore di verità di p \dot{\vee} q?

    Le proposizioni p e q hanno valore di verità opposto, infatti p è falsa mentre q è vera. Di conseguenza p \dot{\vee} q è un enunciato vero.

    Differenza tra XOR e OR

    OR indica la disgiunzione inclusiva, si indica con il simbolo \vee ed è un connettivo logico ben distinto dallo XOR.

    Affinché un enunciato composto con la disgiunzione inclusiva sia vero è sufficiente che almeno uno dei due enunciati che lo compongono sia vero, quindi la sua tavola di verità è la seguente

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} p & q & p \vee q \\ \cline{1-3} V & V & V \\ \cline{1-3} V & F & V \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} F & F & F \\ \cline{1-3} \end{array}

    La differenza tra le tavole di verità di xor e or sta nella prima riga, ossia se p e q sono due enunciati veri, allora p \dot{\vee} q è falso, mentre p \vee q è vero.

    XOR e altri connettivi logici

    Se p e q sono due proposizioni matematiche allora vale la seguente uguaglianza, che mette in relazione lo XOR coi connettivi logici di negazione, congiunzione e disgiunzione inclusiva:

    p \dot{\vee} q = (p \wedge \overline{q}) \vee (\overline{p} \wedge q)

    Tale formula può essere facilmente verificata ricorrendo alle tavole di verità.

    ***

    Per saperne di più su connettivi logici e tavole di verità potete leggere la pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
 
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