Soluzioni
  • I connettivi logici sono congiunzioni, locuzioni o avverbi della lingua italiana con cui è possibile comporre tra loro due o più proposizioni matematiche, dando origine a una nuova proposizione. Quest'ultima avrà un valore di verità vero o falso che dipenderà dal valore di verità delle proposizioni che la compongono e dai connettivi logici usati.

    Per stabilire il valore di verità delle proposizioni composte si usano le tavole di verità, dette anche tabelle di verità. A ciascun connettivo logico è associata una tavola di verità, in cui viene specificato il valore di verità della proposizione composta con quel connettivo e al variare dei valori di verità delle proposizioni di partenza.

    I due valori di verità possibili per una proposizione matematica sono:

    - vero, indicato con la lettera V o col simbolo binario 1;

    - falso, indicato con la lettera F o col simbolo binario 0.

    Vediamo quali sono i principali connettivi logici e le relative tavole di verità, per poi elencare le regole di precedenza dei connettivi logici e, infine, mostrarvi qualche esercizio sull'utilizzo delle tavole di verità.

    Connettivo logico di congiunzione

    La congiunzione è un connettivo logico binario che opera su due proposizioni, dette anche enunciati; si indica col simbolo \wedge e si legge "e". Un enunciato composto col connettivo di congiunzione è vero se e solo se entrambi gli enunciati che lo compongono sono veri.

    Riportiamo qui di seguito la tavola di verità del connettivo logico di congiunzione, dove p e q indicano due qualsiasi proposizioni matematiche e p \wedge q è la loro composizione mediante il connettivo logico di congiunzione.

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} p & q & p \wedge q \\ \cline{1-3} V & V & V \\ \cline{1-3} V & F & F \\ \cline{1-3} F & V & F \\ \cline{1-3} F & F & F \\ \cline{1-3} \end{array}

    Connettivo logico di disgiunzione inclusiva

    La disgiunzione inclusiva si indica con il simbolo \vee, che si legge "o" e rientra tra i connettivi logici binari. A due proposizioni matematiche p e q il connettivo logico di disgiunzione inclusiva associa la proposizione composta p \vee q, che è vera se almeno una tra le proposizioni che la compongono è vera.

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} p & q & p \vee q \\ \cline{1-3} V & V & V \\ \cline{1-3} V & F & V \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} F & F & F \\ \cline{1-3} \end{array}

    Connettivo logico di disgiunzione esclusiva

    La disgiunzione esclusiva si indica con il simbolo \dot{\vee} e si legge xor. Un enunciato composto col connettivo di disgiunzione esclusiva è vero soltanto se le due proposizioni che lo compongono hanno valore di verità opposto; anch'esso è un connettivo logico binario.

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} p & q & p \dot{\vee} q \\ \cline{1-3} V & V & F \\ \cline{1-3} V & F & V \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} F & F & F \\ \cline{1-3} \end{array}

    Connettivo logico di implicazione

    Viene indicato con il simbolo \to che si legge "implica" e indica un'implicazione materiale: a due proposizioni matematiche p e q associa la proposizione composta p \to q, che è falsa solo se la prima proposizione è vera e la seconda è falsa.

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} p & q & p \to q \\ \cline{1-3} V & V & V \\ \cline{1-3} V & F & F \\ \cline{1-3} F & V & V \\ \cline{1-3} F & F & V \\ \cline{1-3} \end{array}

    Connettivo logico di coimplicazione

    Anch'esso rientra tra i connettivi logici binari; si indica col simbolo \leftrightarrow, che si legge "se e solo se", e indica la doppia implicazione materiale. Un enunciato composto col connettivo logico di doppia implicazione è vero soltanto se i due enunciati di partenza hanno lo stesso valore di verità.

    \begin{array}{|c|c|c|}\cline{1-3} p & q & p \leftrightarrow q \\ \cline{1-3} V & V & V \\ \cline{1-3} V & F & F \\ \cline{1-3} F & V & F \\ \cline{1-3} F & F & V \\ \cline{1-3} \end{array}

    Connettivo logico di negazione

    È l'unico connettivo logico non binario, infatti opera su una sola proposizione e per questo motivo viene detto connettivo logico unario. Si indica col simbolo \neg o riportando una barretta orizzontale sulla proposizione che si vuole negare, e si legge "non".

    Se p è una proposizione, la sua negazione \overline{p} ha valore di verità opposto.

    \begin{array}{|c|c|}\cline{1-2} p & \overline{p} \\ \cline{1-2} V & F \\ \cline{1-2} F & V \\ \cline{1-2}\end{array}

    Regole di precedenza dei connettivi logici

    Anche per i connettivi logici esistono delle regole di precedenza, proprio come avviene per le operazioni matematiche. Se un enunciato composto è formato da più di due proposizioni, unite tra loro da connettivi logici diversi, per determinarne il valore di verità bisogna seguire le seguenti regole di precedenza:

    1) negazione

    2) congiunzione

    3) disgiunzione (inclusiva o esclusiva)

    4) implicazione

    5) coimplicazione

    Le regole di precedenza rendono in molti casi superfluo l'uso delle parentesi tonde, che possono tranquillamente essere omesse.

    Esercizi svolti sulle tavole di verità

    L'utilizzo delle tavole di verità, per quanto semplice, non è mai immediato per chi si affaccia per la prima volta agli esercizi di logica proposizionale.

    Per aiutarvi a prendere confidenza con i connettivi logici e con le rispettive tavole di verità vi proponiamo qualche esercizio svolto.

    1) Consideriamo i seguenti enunciati:

    p: 13 è un numero primo;

    q: 0,5 è un numero naturale;

    r: un quadrato ha 5 lati.

    Trovare il valore di verità dei seguenti enunciati composti:

    p \leftrightarrow q \wedge r, \ \ \overline{r \vee q} \to p, \ \ p \dot{\vee} (r \wedge q)

    Anzitutto osserviamo che p è un enunciato vero, mentre q e r sono enunciati falsi.

    Per trovare il valore di verità di p \leftrightarrow q \wedge r seguiamo le regole di precedenza: dobbiamo dapprima trovare il valore di verità di q \wedge r.

    Poiché sia q che r sono false, dalla tavola di verità del connettivo logico di congiunzione si deduce che q \wedge r è falsa.

    Infine, poiché p è vera e q \wedge r è falsa, dalla tavola di verità del connettivo logico di coimplicazione si ricava che

    p \leftrightarrow q \wedge r = p \leftrightarrow (q \wedge r)

    è falsa.

    Procedendo allo stesso modo lasciamo a voi il compito di verificare che

    \overline{r \vee q} \to p

    è vera, così è come è vero l'enunciato

    p \dot{\vee} (r \wedge q).

    2) Scrivere le tavole di verità dei seguenti enunciati composti

    (p \vee \overline{q}) \to p, \ \ \ (p \vee q) \leftrightarrow (q \vee p)

    Per scrivere la tavola di verità completa di un enunciato composto dobbiamo formare una tabella avente un numero di colonne pari alla somma tra il numero di proposizioni che formano l'enunciato composto e il numero di connettivi logici in esso presenti.

    Per fissare le idee scriviamo la tavola di verità dell'enunciato

    (p \vee \overline{q}) \to p

    Le proposizioni di partenza sono p e q e i connettivi logici sono tre: negazione, disgiunzione inclusiva e implicazione, quindi dobbiamo formare una tabella con 2+3=5 colonne.

    Nelle prime due colonne si devono riportare le proposizioni p e q e i loro possibili valori di verità, in modo da formare tutte le possibili coppie, che sono (V, V), (V, F), (F, V), (F, F).

    Nelle restanti colonne riportiamo i vari enunciati composti, al partire dal più interno e fino ad arrivare a quello completo.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5}p & q & \overline{q} & p \vee \overline{q} & (p \vee \overline{q}) \to p \\ \cline{1-5} V & V & & & \\ \cline{1-5} V & F & & & \\ \cline{1-5} F & V & & & \\ \cline{1-5} F & F & & & \\ \cline{1-5} \end{array}

    Procediamo: nella terza colonna dobbiamo scrivere la negazione dell'enunciato q, ossia

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5}p & q & \overline{q} & p \vee \overline{q} & (p \vee \overline{q}) \to p \\ \cline{1-5} V & V & F & & \\ \cline{1-5} V & F & V & & \\ \cline{1-5} F & V & F & & \\ \cline{1-5} F & F & V & & \\ \cline{1-5} \end{array}

    Nella quarta colonna vanno riportati i valori di verità di p \vee \overline{q}, che è vero se almeno uno dei due enunciati è vero.

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5}p & q & \overline{q} & p \vee \overline{q} & (p \vee \overline{q}) \to p \\ \cline{1-5} V & V & F & V & \\ \cline{1-5} V & F & V & V & \\ \cline{1-5} F & V & F & F & \\ \cline{1-5} F & F & V & V & \\ \cline{1-5} \end{array}

    Completiamo l'ultima colonna riportando i valori di verità dell'enunciato (p \vee \overline{q}) \to p, che è falso quando (p \vee \overline{q}) è vero e p è falso

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5}p & q & \overline{q} & p \vee \overline{q} & (p \vee \overline{q}) \to p \\ \cline{1-5} V & V & F & V & V \\ \cline{1-5} V & F & V & V & V\\ \cline{1-5} F & V & F & F & V\\ \cline{1-5} F & F & V & V & F\\ \cline{1-5} \end{array}

    Finito! Quella che abbiamo appena scritto è la tavola di verità completa dell'enunciato (p \vee \overline{q}) \to p.

    A voi il compito di verificare che la tavola di verità dell'enunciato (p \vee q) \leftrightarrow (q \vee p) è la seguente:

    \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \cline{1-5}p & q & p \vee q & q \vee p & (p \vee q) \leftrightarrow (q \vee p) \\ \cline{1-5} V & V & V & V & V \\ \cline{1-5} V & F & V & V & V\\ \cline{1-5} F & V & V & V & V\\ \cline{1-5} F & F & F & F & V\\ \cline{1-5} \end{array}

    Per concludere osserviamo che l'enunciato composto (p \vee q) \leftrightarrow (q \vee p) è una tautologia, infatti è un enunciato sempre vero.

    Risposta di Galois
 
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