Soluzioni
  • La serie di Fibonacci è una successione di numeri interi i cui primi due elementi sono 1 e 1, e ciascun altro elemento è uguale alla somma dei due termini precedenti.

    Attenendoci alla definizione appena data possiamo ricavare i termini della serie di Fibonacci, che sono:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

    Gli elementi della serie di Fibonacci formano una sequenza numerica, motivo per cui questa serie è anche conosciuta coi nomi di sequenza di Fibonacci o successione di Fibonacci.

    I suoi termini vengono detti numeri di Fibonacci e vengono indicati con F_{n}, dove n è un numero naturale maggiore o uguale di 1 che specifica la posizione di ciascun numero all'interno della serie.

    Il nome serie di Fibonacci deriva da Leonardo Fibonacci, uno dei più grandi matematici di tutti i tempi e fautore dell'introduzione dei numeri arabi in Europa a discapito dei numeri romani.

    La nascita della serie di Fibonacci risale all'anno 1202, quando Fibonacci era intento a descrivere la crescita di una popolazione di conigli secondo le seguenti regole di crescita:

    - inizialmente la popolazione è formata da una sola coppia di conigli;

    - ogni coppia di conigli diventa fertile dopo un mese di vita;

    - una volta fertile, ogni coppia genera una sola coppia e lo fa una volta al mese.

    Ecco come avviene la crescita della popolazione:

    - si parte con una coppia di conigli;

    - dopo un mese c'è ancora una coppia che però è diventata fertile;

    - dopo due mesi ci sono due coppie, di cui una fertile e l'altra no;

    - dopo tre mesi le coppie sono tre, di cui solo due fertili;

    - dopo quattro mesi le coppie diventano cinque, di cui tre fertili;

    - dopo cinque mesi le coppie sono otto, e solo cinque potranno generare;

    ... e così via.

    Se elenchiamo uno dopo l'altro il numero di coppie di conigli di ciascun mese otteniamo proprio la serie di Fibonacci:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

    Definizione ricorsiva della serie di Fibonacci

    La serie di Fibonacci ha una definizione ricorsiva, in cui vengono specificati i primi due termini per poi definire un generico elemento della serie come somma dei precedenti:

    F_n=\begin{cases}1 \mbox{ se } n=1 \\ \\ 1 \mbox{ se } n=2 \\ \\ F_{n-1}+F_{n-2} \mbox{ se } n\ge 3\end{cases}

    Proprietà della serie di Fibonacci

    1) In tutta la serie di Fibonacci compaiono solo tre quadrati perfetti sono F_1=1, \ F_2=1, \ F_{12}=144.

    2) Se F_n e F_{n+1} sono due numeri consecutivi della serie di Fibonacci, allora il loro massimo comun divisore è 1, ossia due numeri consecutivi della serie di Fibonacci sono numeri coprimi.

    3) Se F_n con n>4 è un numero primo, allora anche n è un numero primo.

    4) Se n è un divisore di m allora F_{n} divide F_{m}.

    5) Il massimo comun divisore tra due termini F_{n} \mbox{ e } F_{m}, corrisponde al numero di Fibonacci la cui posizione è il massimo comun divisore tra n \mbox{ e } m.

    6) Ogni elemento della serie di Fibonacci si può calcolare attraverso la seguente somma tra coefficienti binomiali

    F_n=\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n-k}{k-1}

    7) Dalla somma dei numeri delle diagonali del triangolo di Tartaglia si ottiene la serie di Fibonacci.

     

    Sequenza di Fibonacci e triangolo di Tartaglia

     

    Serie di Fibonacci e sezione aurea

    La serie di Fibonacci è strettamente legata alla sezione aurea. Tra le varie proprietà che legano sezione aurea e serie di Fibonacci ricordiamo le seguenti:

    - il rapporto tra due numeri consecutivi della serie di Fibonacci approssima sempre meglio il numero aureo \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.

    In termini matematici questa proprietà si esprime col seguente limite:

    \lim_{n \to +\infty} \frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\varphi

    - Affiancando in successione tanti quadrati aventi per lato i numeri della serie di Fibonacci si costruisce un rettangolo aureo.

     

    Serie di Fibonacci e rettangolo aureo

     

    - A partire dal rettangolo aureo si può poi disegnare la spirale di Fibonacci, che approssima molto bene la spirale aurea. Nel caso foste interessati ne abbiamo spiegato la costruzione nella pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
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