Soluzioni
  • Si dice diagonale del parallelogramma ciascuno dei due segmenti che unisce due vertici opposti di un parallelogramma, il quale ha due diagonali: una è detta diagonale maggiore e l'altra diagonale minore.

     

    Area parallelogramma

     

    Formule oer la diagonale del parallelogramma

    Per calcolare la misura delle due diagonali di un parallelogramma esistono due formule, abbastanza complesse e poco conosciute. Prima di riportarle specifichiamo i simboli che useremo: d_1 indica la misura della diagonale minore, d_2 la misura della diagonale maggiore, b la base, L il lato obliquo e h_L l'altezza relativa al lato obliquo.

     

    Diagonale minore del parallelogramma

    d_1=\sqrt{L^2+b^2-2L\sqrt{b^2-h_L^2}}

    Diagonale maggiore del parallelogramma

    d_2=\sqrt{L^2+b^2+2L\sqrt{b^2-h_L^2}}

     

    Le due formule delle diagonali del parallelogramma discendono dalle svariate proprietà di cui gode un parallelogramma e sono molto simili tra loro, infatti differiscono per il segno presente prima del simbolo di radice: positivo nella formula della diagonale maggiore e negativo nella formula della diagonale minore.

    Per una tabella completa con tutte le formule e per le proprietà di cui godono le diagonali di un parallelogramma rimandiamo al nostro formulario sul parallelogramma.

    Esercizi svolti sulla diagonale del parallelogramma

    Vi proponiamo un paio di esercizi svolti sulla diagonale del parallelogramma, in cui avremo modo di analizzare le due formule nel dettaglio.

    Calcolo diagonale parallelogramma

    Per calcolare la diagonale bisogna conoscere le misure della base, del lato obliquo e dell'altezza del parallelogramma relativa ad esso, per poi usare una delle seguenti formule

    \\ d_1=\sqrt{L^2+b^2-2L\sqrt{b^2-h_L^2}} \\ \\ \\ d_2=\sqrt{L^2+b^2+2L\sqrt{b^2-h_L^2}}

    La prima permette di calcolare la misura della diagonale minore, con la seconda la misura della diagonale maggiore.

    Esempi

    1) La base di un parallelogramma misura 8 centimetri, il lato obliquo è di 5 cm e l'altezza ad esso relativa è di 4,8 cm. Calcolare la misura delle diagonali del parallelogramma.

    Riportiamo i dati forniti dal testo del problema

    \\ L=5 \mbox{ cm} \\ \\ b=8 \mbox{ cm} \\ \\ h_L=4,8 \mbox{ cm}

    Scriviamo la formula per il calcolo della diagonale minore e sostituiamo i dati assegnati; per una questione di comodità abbiamo deciso di non riportare le unità di misura.

    \\ d_1=\sqrt{L^2+b^2-2L\sqrt{b^2-h_L^2}}=\sqrt{5^2+8^2-2\times 5 \times \sqrt{8^2-4,8^2}} = \\ \\ \\ = \sqrt{25+64-10 \times \sqrt{64-23,04}} = \sqrt{25+64-10 \times \sqrt{40,96}} = \\ \\ \\ = \sqrt{25+64-10 \times 6,4} = \sqrt{25+64-64} = \sqrt{25} = 5

    Pertanto la diagonale minore del parallelogramma misura 5 cm.

    Procediamo al calcolo della diagonale maggiore usando la relativa formula

    \\ d_2=\sqrt{L^2+b^2+2L\sqrt{b^2-h_L^2}}=\sqrt{5^2+8^2+2\times 5 \times \sqrt{8^2-4,8^2}} = \\ \\ \\ = \sqrt{25+64+10 \times \sqrt{64-23,04}} = \sqrt{25+64+10 \times \sqrt{40,96}} = \\ \\ \\ = \sqrt{25+64+10 \times 6,4} = \sqrt{25+64+64} = \sqrt{153} \simeq 12,37

    Quindi la diagonale maggiore del parallelogramma è lunga circa 12,37 cm.

    2) L'area di un parallelogramma è di 48 metri quadrati e il suo perimetro misura 34 metri. Sapendo che il lato obliquo misura 5 metri, calcolare le diagonali del parallelogramma.

    Per calcolare le diagonali del parallelogramma ci servono lato obliquo, altezza relativa al lato obliquo e base.

    La misura del lato obliquo è nota

    L= 5 \mbox{ m}

    Ricaviamo la misura dell'altezza relativa al lato obliquo dividendo l'area del parallelogramma per la misura del lato

    h_L=\frac{A}{L} = \frac{48 \mbox{ m}^2}{5 \mbox{ m}} = 9,6 \mbox{ m}

    Infine calcoliamo la misura della base dal perimetro del parallelogramma

    b = \frac{2p-2L}{2} = \frac{34 \mbox{ m} - 2 \times (5 \mbox{ m})}{2} = \frac{34 \mbox{ m} - 10 \mbox{ m}}{2} = 12 \mbox{ m}

    Abbiamo tutto quello che ci occorre per calcolare diagonale minore e diagonale maggiore

    \\ d_1=\sqrt{L^2+b^2-2L\sqrt{b^2-h_L^2}}=\sqrt{5^2+12^2-2\times 5 \times \sqrt{12^2-9,6^2}} = \\ \\ \\ = \sqrt{25+144-10 \times \sqrt{144-92,16}} = \sqrt{25+144-10 \times \sqrt{51,84}} = \\ \\ \\ = \sqrt{25+144-10 \times 7,2} = \sqrt{25+144-72} = \sqrt{97} \simeq 9,85 \\ \\ \\ d_2=\sqrt{L^2+b^2+2L\sqrt{b^2-h_L^2}}=\sqrt{5^2+12^2+2\times 5 \times \sqrt{12^2-9,6^2}} = \\ \\ \\ = \sqrt{25+144+10 \times \sqrt{144-92,16}} = \sqrt{25+144+10 \times \sqrt{51,84}} = \\ \\ \\ = \sqrt{25+144+10 \times 7,2} = \sqrt{25+144+72} = \sqrt{241} \simeq 15,52

    In definitiva le due diagonali misurano 9,85 metri e 15,52 metri.

    ***

    Per leggere altri esercizi svolti sul parallelogramma - click! ;)

    Risposta di Galois
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