Soluzioni
  • I postulati di Euclide sono cinque proposizioni matematiche che si considerano vere senza essere dimostrate. I postulati di Euclide costituiscono il fondamento di tutta la Geometria Piana che si studia a scuola. Negando la validità di anche un solo postulato euclideo si sfocia in altri tipi di geometrie dette, per l'appunto, geometrie non euclidee.

    I cinque postulati di Euclide

    Per ciascuno dei cinque postulati di Euclide esistono diversi enunciati; nel seguente elenco abbiamo riportato solo una delle possibili formulazioni per ciascun postulato.

    Primo postulato di Euclide

    Tra due punti distinti di un piano passa una e una sola retta.

    Secondo postulato di Euclide

    Una linea retta può essere prolungata indefinitamente.

    Terzo postulato di Euclide

    Dato un punto e una lunghezza si può descrivere una circonferenza.

    Quarto postulato di Euclide

    Tutti gli angoli retti sono congruenti.

    Quinto postulato di Euclide

    Se una retta taglia altre due rette e forma dalla stessa parte angoli interni la cui somma delle ampiezze è minore di due angoli retti, allora le due rette si incontreranno dalla parte di tali angoli.

     

    V postulato di Euclide

     

    Formulazione equivalente del V postulato di Euclide

    Si nota immediatamente una differenza tra i primi quattro postulati e il quinto: i primi quattro sono enunciati semplici, facilmente verificabili con riga e compasso, mentre il quinto ha una formulazione complessa e meno immediata.

    Per oltre 20 secoli i matematici furono convinti che il quinto postulato di Euclide non fosse indipendente dagli altri e fosse perciò dimostrabile come teorema. Parecchi pensarono di sostituirlo con un postulato più intuitivo e di facile comprensione, ma furono tentativi inutili. Solo nell'Ottocento si riuscì a dimostrare l'indeducibilità del V postulato dagli altro quattro.

    Il quinto postulato di Euclide è equivalente al seguente assioma, molto più usato e conosciuto: data una retta r e un punto P esterno ad essa, esiste una e una sola retta passante per P e parallela alla retta r.

    Poiché in questa formulazione garantisce l'esistenza di un'unica parallela per un punto a una retta data, il V postulato di Euclide è anche conosciuto col nome di postulato delle parallele.

    Dalla negazione del quinto postulato di Euclide è possibile definire nuovi tipi di geometrie, dette geometrie non euclidee, tra cui ricordiamo:

    - la Geometria Iperbolica, in cui le rette divergono, proprio come i rami di un'iperbole;

    - la Geometria Ellittica, in cui le rette convergono e finiscono col formare degli ellissi.

    ***

    Con questo è tutto. Se volete approfondire e leggere in dettaglio cos'è un postulato - click!

    Risposta di Galois
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