Soluzioni
  • I teoremi dell'angolo esterno sono due tra i principali teoremi della Geometria Euclidea e mettono in relazione ciascun angolo esterno di un triangolo con i suoi angoli interni.

    Primo teorema dell'angolo esterno

    Il primo teorema sull'angolo esterno afferma che in un triangolo ciascun angolo esterno è maggiore di ogni angolo interno ad esso non adiacente.

    Per capire l'enunciato del teorema, e successivamente fornirne una dimostrazione, disegniamo un triangolo qualsiasi, chiamiamo A, \ B, \ C i suoi tre vertici e rappresentiamo uno degli angoli esterni del triangolo prolungando uno qualsiasi dei suoi lati.

    Indichiamo con \delta l'angolo esterno e con \alpha uno dei due angoli interni ad esso non adiacente.

     

    Primo teorema angolo esterno

     

    In riferimento alla precedente immagine, il teorema afferma che

    \delta > \alpha

    Dimostrazione del primo teorema dell'angolo esterno

    Per dimostrare il primo teorema dell'angolo esterno dobbiamo fare una piccola costruzione partendo dal triangolo della precedente figura.

    Consideriamo il punto medio M del lato AB e congiungiamo C con M.

    Prolunghiamo il lato MC dalla parte di M di un segmento MD = CM.

    Infine, congiungiamo il punto D col vertice B del triangolo.

     

    Dimostrazione primo teorema angolo esterno

     

    Osserviamo che l'angolo \widehat{ABD} è una parte dell'angolo \delta, quindi \delta > \widehat{ABD}.

    Per dimostrare la tesi è sufficiente dimostrare che l'angolo \alpha ha la stessa ampiezza dell'angolo \widehat{ABD}, ossia che \alpha = \widehat{ABD}.

    A tal proposito consideriamo i due triangoli di vertici A, \ M, \ C e M, \ D, \ B. Essi hanno:

    - il lato AM congruente al lato MB, in quanto M è punto medio di AB;

    - i lato CM congruente al lato MD per costruzione;

    - l'angolo \widehat{AMC} congruente all'angolo \widehat{BMD} perché angoli opposti al vertice.

    Per il primo criterio di congruenza i due triangoli sono congruenti. Di conseguenza l'angolo \alpha ha la stessa ampiezza dell'angolo \widehat{ABD}, e ciò conclude la dimostrazione.

    Secondo teorema dell'angolo esterno

    Il secondo teorema sull'angolo esterno stabilisce che in un triangolo qualsiasi ciascun angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni ad esso non adiacenti.

    Come di consueto cerchiamo di capire l'enunciato del teorema aiutandoci con una rappresentazione grafica: disegniamo un triangolo qualsiasi, indichiamo con \alpha, \ \beta, \ \gamma i suoi tre angoli interni e con \delta l'angolo esterno relativo a uno qualsiasi degli angoli interni.

     

    Secondo teorema angolo esterno

     

    Il secondo teorema dell'angolo esterno afferma che

    \delta = \alpha + \beta

    infatti \alpha \mbox{ e } \beta sono i due angoli interni non adiacenti all'angolo esterno \delta

    Dimostrazione del secondo teorema dell'angolo esterno

    Attenendoci alla precedente immagine dobbiamo dimostrare che

    \delta = \alpha + \beta

    Ricordiamo che la somma degli angoli interni di un triangolo è pari a un angolo piatto, ossia

    \alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}

    I due angoli \gamma \mbox{ e } \delta sono angoli adiacenti, e quindi anche loro somma è uguale a un angolo piatto.

    \gamma + \delta = 180^{\circ}

    Pertanto possiamo affermare che

    \gamma + \delta = \alpha + \beta + \gamma

    L'angolo \gamma compare in entrambi i membri della precedente relazione e quindi può essere eliminato, ottenendo

    \delta = \alpha + \beta

    che è proprio quello che volevamo dimostrare.

    ***

    Per sapere quanto vale la somma degli angoli esterni di un triangolo rimandiamo alla pagina del link, se invece volete fare un ripasso su tutte le proprietà del triangolo - click!

    Risposta di Galois
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