Soluzioni
  • L'apotema di un triangolo è definito solamente nel caso del triangolo equilatero. L'apotema infatti, per definizione, è il raggio della circonferenza inscritta in un qualsiasi poligono regolare, e l'unico triangolo a essere un poligono regolare è il triangolo equilatero.

    Tuttavia, poiché un triangolo qualsiasi può essere sempre circoscritto a una circonferenza, con un abuso di linguaggio spesso accettato si sente parlare di apotema del triangolo isoscele, apotema del triangolo scaleno o apotema del triangolo rettangolo, riferendosi al raggio della circonferenza inscritta al triangolo in questione.

    Come si calcola l'apotema di un triangolo

    Per calcolare il raggio della circonferenza inscritta in un triangolo si deve dividere il doppio dell'area del triangolo per la misura del perimetro.

    Quindi, indicando con r il raggio della circonferenza inscritta, con A l'area e con 2p il perimetro di un triangolo qualsiasi, la formula utile a trovare il raggio della circonferenza inscritta è la seguente:

    r=\frac{2A}{2p}

    Esempi sul calcolo dell'apotema di un triangolo

    1) Calcolare la misura dell'apotema di un triangolo scaleno i cui lati misurano 11, 25 e 30 centimetri.

    Calcoliamo il perimetro del triangolo scaleno sommando la misura dei lati

    2p=(11 \mbox{ cm}) + (25 \mbox{ cm}) + (30 \mbox{ cm}) = 66 \mbox{ cm}

    dopodiché troviamo l'area del triangolo usando la formula di Erone

    A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}

    dove p è il semiperimetro e a, \ b, \ c le misure dei tre lati del triangolo:

    \\ A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \\ \\ \sqrt{(33 \mbox{ cm})\times (33\mbox{ cm} - 11 \mbox{ cm})\times(33\mbox{ cm} - 25 \mbox{ cm})\times(33\mbox{ cm} - 30 \mbox{ cm})} = \\ \\ \sqrt{(33\mbox{ cm})\times(22 \mbox{ cm})\times(8 \mbox{ cm})\times(3 \mbox{ cm})}= \sqrt{17424 \mbox{ cm}^4} = 132 \mbox{ cm}^2

    Infine calcoliamo il raggio della circonferenza inscritta dividendo il doppio dell'area per il perimetro

    r=\frac{2A}{2p}=\frac{2 \times 132 \mbox{ cm}^2}{66 \mbox{ cm}} = \frac{264 \mbox{ cm}^2}{66 \mbox{ cm}}=4 \mbox{ cm}

    2) Trovare l'apotema di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano 3 e 4 metri.

    Chiamiamo c_1 \mbox{ e } c_2 i due cateti del triangolo rettangolo, di cui conosciamo le rispettive misure:

    \\ c_1=4 \mbox{ m} \\ \\ c_2=3 \mbox{ m}

    Possiamo allora calcolare l'area del triangolo

    A=\frac{c_1 \times c_2}{2} = \frac{(4 \mbox{ m}) \times (3 \mbox{ m})}{2} = 6 \mbox{ m}^2

    Col teorema di Pitagora calcoliamo la misura dell'ipotenusa

    i=\sqrt{c_1^2+c_2^2}=\sqrt{(4 \mbox{ m})^2+(3 \mbox{ m})^2} = \sqrt{16 \mbox{ m}^2 + 9 \mbox{ m}^2} = \sqrt{25 \mbox{ m}^2} = 5 \mbox{ m}

    Sommando le misure dei tre lati del triangolo possiamo ricavarne il perimetro

    2p=c_1+c_2+i=(4 \mbox{ m})+(3 \mbox{ m})+(5 \mbox{ m}) = 12 \mbox{ m}

    Abbiamo ora tutto quello che ci occorre per calcolare il raggio della circonferenza inscritta al triangolo rettangolo

    r=\frac{2A}{2p}=\frac{2 \times 6 \mbox{ m}^2}{12 \mbox{ m}} = \frac{12 \mbox{ m}^2}{12 \mbox{ m}}=1 \mbox{ m}

    3) L'altezza di un triangolo isoscele misura 24 decimetri e la base è di 14 decimetri. Quanto misura l'apotema del triangolo isoscele?

    Siano b, \ h, \ l rispettivamente, la base, l'altezza e il lato obliquo del triangolo isoscele.

    Il testo del problema ci fornisce la misura di base e altezza

    \\ b=14 \mbox{ dm} \\ \\ h=24 \mbox{ dm}

    da cui possiamo calcolare l'area del triangolo isoscele

    A=\frac{b \times h}{2} = \frac{(14 \mbox{ dm}) \times (24 \mbox{ dm})}{2} = 168 \mbox{ dm}^2

    Calcoliamo la misura del lato obliquo usando il teorema di Pitagora

    \\ l=\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2+h^2}=\sqrt{(7 \mbox{ dm})^2+(24 \mbox{ dm})^2} = \\ \\ \\ = \sqrt{49 \mbox{ dm}^2 + 576 \mbox{ dm}^2} = \sqrt{625 \mbox{ dm}^2} = 25 \mbox{ dm}

    Possiamo ora trovare il perimetro

    2p=b+2l = (14 \mbox{ dm}) + 2 \times (25 \mbox{ dm}) = (14 \mbox{ dm}) + (50 \mbox{ dm}) = 64 \mbox{ dm}

    Essendo noti area e perimetro, calcoliamo il raggio della circonferenza inscritta nel triangolo isoscele con la relativa formula

    r=\frac{2A}{2p}=\frac{2 \times 168 \mbox{ dm}^2}{64 \mbox{ dm}} = \frac{336 \mbox{ dm}^2}{64 \mbox{ dm}}=5,25 \mbox{ dm}

    ***

    Ribadiamo ancora una volta che il triangolo equilatero è l'unico tipo di triangolo per cui è definito l'apotema nel vero senso della parola. Per vedere tutti i metodi e le formule per calcolare l'apotema del triangolo equilatero vi rimandiamo alla pagina del link.

    Risposta di Galois
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiVarie
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAVita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Medie-Geometria