Soluzioni
  • La sequenza di Fibonacci è una sequenza numerica infinita di numeri naturali in cui i primi due termini sono 1 e 1, e ciascun altro termine è uguale alla somma dei precedenti due.

    I termini della sequenza di Fibonacci sono detti numeri di Fibonacci e si indicano con F_{n}, dove il pedice n specifica la posizione che ciascun numero ha all'interno della sequenza.

    La sequenza di Fibonacci è detta anche serie di Fibonacci o successione di Fibonacci e prende il nome dal matematico pisano Leonardo Fibonacci, che diede uno dei più grandi contributi per l'introduzione dei numeri arabi in Europa.

    I suoi primi quindici termini sono:

    1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, ...

    La sequenza di Fibonacci nacque per caso nell'anno 1202, quando il matematico Fibonacci era intento a risolvere il seguente problema pratico: quante coppie di conigli si ottengono in un anno da una sola coppia supponendo che produca ogni mese (tranne il primo) una nuova coppia, che a sua volta diventa fertile a partire dal secondo mese?

    La risposta è 144 e si ottiene ragionando nel modo seguente:

    - dopo un mese ci sarà una coppia fertile di conigli;

    - dopo due mesi ci saranno due coppie, di cui solo una fertile;

    - dopo tre mesi le coppie saranno 2+1=3, di cui solo due saranno fertili;

    - dopo quattro mesi le coppie saranno 2+3=5, di cui tre fertili;

    ... e così via fino al dodicesimo mese, dove le coppie di conigli saranno 144.

    Ogni mese, il numero di coppie di conigli è un numero di Fibonacci.

    Definizione di sequenza di Fibonacci

    La sequenza di Fibonacci ammette una definizione ricorsiva, in cui vengono elencati i primi due termini e definito un generico elemento della sequenza a partire dai precedenti.

    F_n=\begin{cases}1 \mbox{ se } n=1 \\ \\ 1 \mbox{ se } n=2 \\ \\ F_{n-1}+F_{n-2} \mbox{ se } n\ge 3\end{cases}

    Proprietà della sequenza di Fibonacci

    Qui di seguito abbiamo elencato le principali proprietà di cui godono i numeri di Fibonacci.

    1) Gli unici numeri di Fibonacci che sono dei quadrati perfetti sono F_1=1, \ F_2=1, \ F_{12}=144.

    2) Due numeri consecutivi della sequenza di Fibonacci sono numeri primi tra loro.

    3) Fatta eccezione per F_4=3, se F_n è un numero primo, allora anche n è un numero primo.

    4) Il più grande numero primo di Fibonacci ad oggi scoperto è F_{81839}, un numero primo con oltre 17000 cifre.

    5) Se n è un divisore di m allora F_{n} divide F_{m}.

    6) Il massimo comun divisore tra due numeri di Fibonacci F_{n},F_{m} corrisponde al numero di Fibonacci la cui posizione è il massimo comun divisore tra n \mbox{ e } m. In formule:

    \mbox{mcd}(F_n,F_m) = F_{\mbox{mcd(n,m)}}

    7) Ogni termine della sequenza di Fibonacci si può calcolare mediante la seguente somma tra coefficienti binomiali

    F_n=\sum_{k=1}^{n}\dbinom{n-k}{k-1}

    8) Sommando i numeri delle diagonali del triangolo di Tartaglia come mostrato nell'immagine seguente si ottiene la sequenza di Fibonacci.

     

    Sequenza di Fibonacci e triangolo di Tartaglia

     

    Sequenza di Fibonacci e numero aureo

    Il rapporto tra due numeri consecutivi della sequenza di Fibonacci approssima sempre meglio il numero aureo. In termini matematici:

    \lim_{n \to +\infty} \frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\varphi

    dove \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} è il numero aureo.

    Sequenza di Fibonacci e rettangolo aureo

    Il rettangolo aureo può essere costruito a partire dalla sequenza di Fibonacci, affiancando in successione tanti quadrati, ognuno dei quali ha per lato un numero di Fibonacci.

     

    Sequenza di Fibonacci e rettangolo aureo

     

    Sequenza di Fibonacci e spirale aurea

    Con riga e compasso, e con l'ausilio della sequenza di Fibonacci, è possibile disegnare la spirale di Fibonacci, che approssima molto bene la spirale aurea. Per vedere come fare rimandiamo alla pagina del link. ;)

    Risposta di Galois
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