Soluzioni
  • Il nostro obiettivo è quello di semplificare le due espressioni con le esponenziali

    \\ (a) \ \ \ 3^{-x}\cdot 9^{-\frac{1}{2}x} \\ \\ (b) \ \ \ \left(3^{-2x+1}\cdot 9^{\tfrac{x}{7}}\right)^3

    usando le opportune proprietà delle potenze.

    Iniziamo dalla prima

    3^{-x}\cdot 9^{-\frac{1}{2}x}=

    Il primo passo prevede di esprimere 9 come quadrato di 3

    =3^{-x}\cdot (3^2)^{-\frac{1}{2}x}=

    dopodiché applichiamo la regola per la potenza di una potenza, che permette di scrivere (3^{2})^{-\frac{1}{2}x} nella potenza che ha come base 3 e come esponente il prodotto tra gli esponenti 2\ \mbox{e} \ -\frac{1}{2}x

    =3^{-x}\cdot 3^{2\cdot\left(-\frac{1}{2}x\right)}=3^{-x}\cdot 3^{-x}=

    Ricordando che il prodotto di due potenze aventi la stessa base è a sua volta una potenza che ha come base la stessa base e come esponente la somma degli esponenti, la precedente espressione diventa

    =3^{-x-x}=3^{-2x}

    La prima espressione è a posto. Occupiamoci della seconda

    \left(3^{-2x+1}\cdot 9^{\tfrac{x}{7}}\right)^3=

    Per prima cosa scriviamo 9 come potenza di 3

    =\left(3^{-2x+1}\cdot (3^2)^{\tfrac{x}{7}}\right)^3=

    usiamo la regola per la potenza di una potenza

    \\ =\left(3^{-2x+1}\cdot 3^{2\cdot\tfrac{x}{7}}\right)^3= \\ \\ =\left(3^{-2x+1}\cdot 3^{\tfrac{2x}{7}}\right)^3

    e la regola relativa al prodotto di due potenze con la stessa base

    =\left(3^{-2x+1+\tfrac{2x}{7}}\right)^{3}=

    A questo punto esprimiamo a denominatore comune le espressioni all'esponente

    =\left(3^{\tfrac{-14x+7+2x}{7}}\right)^3=\left(3^{\tfrac{-12x+7}{7}}\right)^3=

    e sfruttiamo nuovamente la regola sulla potenza di una potenza

    =3^{\tfrac{-12x+7}{7}\cdot 3}=3^{\tfrac{-36x+21}{7}}

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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