Soluzioni
  • Un triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo avente due vertici coincidenti con gli estremi della semicirconferenza e il terzo vertice collocato in qualsiasi altro punto della semicirconferenza.

    In un triangolo inscritto in una semicirconferenza uno dei lati coincide quindi col diametro della semicirconferenza.

     

    Triangolo inscritto semicirconferenza

    Triangolo ABC inscritto in una semicirconferenza.

     

    La principale proprietà dei triangoli inscritti in una semicirconferenza è la seguente: un triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo, la cui ipotenusa coincide con il diametro della semicirconferenza.

    Per fornirne una dimostrazione è sufficiente ricordare il legame tra angoli al centro e angoli alla circonferenza: un angolo al centro è il doppio di ogni angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.

    In riferimento alla precedente figura, immaginiamo di completare la semicirconferenza all'intera circonferenza e osserviamo che:

    - l'angolo \widehat{ACB} è un angolo alla circonferenza che insiste sull'arco AB;

    - l'angolo piatto \widehat{AOB} è un angolo al centro che insiste sullo stesso arco AB.

    Entrambi gli angoli insistono sullo stesso arco e l'angolo al centro è un angolo piatto; quindi il corrispondente angolo alla circonferenza è la sua metà, ossia \widehat{ACB} è un angolo retto.

    Inoltre, l'ipotenusa di un triangolo rettangolo è il lato opposto all'angolo retto, ed è proprio il diametro della semicirconferenza.

    Ciò conclude la dimostrazione di questa importante proprietà che è considerata un vero e proprio teorema.

    Altre proprietà del triangolo inscritto in una semicirconferenza

    1) L'ipotenusa di un triangolo inscritto in una semicirconferenza è il doppio del raggio.

    2) La mediana relativa all'ipotenusa è un raggio della semicirconferenza.

    3) Se l'altezza relativa all'ipotenusa è raggio della semicirconferenza, allora il triangolo è un triangolo rettangolo isoscele.

    Inoltre, poiché un triangolo inscritto in una semicirconferenza è un triangolo rettangolo, per esso valgono tutte le formule e le proprietà dei triangoli rettangoli, tra cui ovviamente:

    - il teorema di Pitagora;

    - i teoremi di Euclide;

    - i teoremi trigonometrici sul triangolo rettangolo.

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    Risposta di Galois
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