Inscritto

Il termine inscritto significa contenuto in, delimitato o ancora confinato; in Geometria la parola inscritto assume il significato di scritto dentro e specifica una determinata relazione tra poligoni e circonferenza.

Può essere usata in un duplice modo, riferendosi:

- a un poligono inscritto in una circonferenza;

- a una circonferenza inscritta in un poligono.

Poligono inscritto

Un poligono inscritto (sottinteso: in una circonferenza) è un poligono i cui vertici appartengono a una circonferenza.

Se un poligono è inscritto in una circonferenza allora giace all'interno della circonferenza, e quest'ultima passa per tutti i vertici del poligono.

Il centro del cerchio delimitato dalla circonferenza prende il nome di circocentro e corrisponde al punto di incontro tra gli assi dei lati del poligono.

Quando un poligono è inscritto in una circonferenza, si dice che la circonferenza è circoscritta al poligono.

Esempio di poligono inscritto in una circonferenza.

Circonferenza inscritta

Una circonferenza inscritta (sottinteso: in un poligono) è una circonferenza situata all'interno di un poligono, con la caratteristica che i lati del poligono sono tangenti esternamente alla circonferenza che delimita il cerchio.

Il centro della circonferenza inscritta in un poligono prende il nome di incentro ed è il punto di intersezione delle bisettrici degli angoli interni del poligono.

Se una circonferenza è inscritta in un poligono, allora si dice che il poligono è circoscritto alla circonferenza.

Esempio di circonferenza inscritta in un poligono.

Osservazione: spesso e volentieri capita di leggere l'espressione cerchio inscritto. Pur essendo comunemente accettata, tale locuzione non è del tutto corretta perché il cerchio è la superficie delimitata dalla circonferenza, che per definizione è il suo contorno.

Proprietà dei poligoni inscritti

1) Ogni vertice di un poligono inscritto è un punto della circonferenza.

2) Tutti i lati di un poligono inscritto sono corde della circonferenza circoscritta.

3) Se uno dei lati di un poligono inscritto è un diametro, allora il poligono è inscritto in una semicirconferenza.

4) Qualsiasi triangolo può essere inscritto in una circonferenza; il centro della circonferenza circoscritta è un punto notevole del triangolo detto circocentro ed è il punto di incontro degli assi del triangolo.

5) Un quadrilatero convesso si può inscrivere in una circonferenza se e solo se gli angoli opposti sono angoli supplementari. Da ciò segue che:

- quadrato e rettangolo sono sempre inscrivibili in una circonferenza;

- un rombo può essere inscritto solo se degenera in un quadrato;

- un trapezio isoscele si può sempre inscrivere in una circonferenza.

6) Qualsiasi poligono regolare può essere inscritto in una circonferenza.

7) [Condizione di inscrivibilità] In un poligono regolare inscritto con un numero pari di lati (come esagono, ottagono, decagono, dodecagono) il centro della circonferenza è centro di simmetria per il poligono.

Inoltre, nei poligoni regolari con un numero pari di lati, le diagonali che uniscono punti diametralmente opposti sono diametri della circonferenza circoscritta.

8) Il lato di un esagono regolare inscritto ha la stessa misura del raggio della circonferenza.

Formule poligoni inscritti

Non esistono formule sui poligoni inscritti che hanno una valenza generale, ma dipendono dal tipo di poligono considerato. A tal proposito potete consultare la sezione del sito dedicata alla Geometria piana, dove trovate un elenco di formulari per ciascun poligono notevole.

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Per tutte le formule e le proprietà di un qualsiasi poligono circoscritto vi rimandiamo alla pagina del link. ;)