Soluzioni
  • La differenza tra vettori è un'operazione tra vettori che a due vettori \vec{u} \mbox{ e } \vec{v} ne associa un terzo, detto vettore differenza e indicato con \vec{u}-\vec{v}.

    L'operazione di differenza vettoriale è un caso particolare di somma vettoriale. Calcolare la differenza tra due vettori \vec{u} \mbox{ e } \vec{v} equivale infatti a sommare a \vec{u} l'opposto di \vec{v}.

    \vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})

    Per questo motivo, più che di somma o differenza tra vettori, si preferisce parlare di somma algebrica tra vettori.

    L'opposto di un vettore v si indica con -v ed è quel vettore che ha stessa direzione e stesso modulo di v, ma verso opposto.

    Differenza tra vettori con la regola del parallelogramma

    La regola del parallelogramma è un metodo geometrico che permette di individuare graficamente la differenza di vettori del piano o dello spazio euclideo.

    Dati \vec{u} \mbox{ e } \vec{v}, per trovare il vettore differenza \vec{u}-\vec{v} con la regola del parallelogramma basta seguire i seguenti passi:

    - si fa coincidere l'origine del vettore \vec{u} con l'origine del vettore v con una traslazione;

    - si costruisce il parallelogramma avente come lati i vettori \vec{u} \mbox{ e } \vec{v};

    - il vettore differenza \vec{u}-vec{v} è la diagonale del parallelogramma che ha come origine la punta del vettore \vec{v} e come punta la punta del vettore u.

     

    Differenza tra vettori regola del parallelogramma

    Differenza tra vettori con la regola del parallelogramma.

     

    Per saperne di più sulla regola del parallelogramma potete leggere la pagina del link.

    Differenza tra vettori col metodo punta coda

    Il metodo punta coda è un ulteriore procedimento che consente di determinare graficamente il vettore differenza tra due vettori del piano o dello spazio.

    Ricordiamo che la coda di un vettore è il suo punto di applicazione, mentre la punta di un vettore è la punta della freccia con cui viene rappresentato graficamente.

    Siano \vec{u} \mbox{ e } \vec{v} i due vettori di cui vogliamo trovare la differenza con il metodo punta coda.

    - Disegniamo l'opposto del vettore \vec{v}, ossia quel vettore che ha stesso modulo e stessa direzione di \vec{v}, ma verso opposto.

    - Con un movimento rigido facciamo coincidere la coda del vettore -\vec{v} con la punta del vettore \vec{u}.

    La differenza \vec{u} \mbox{ e } \vec{v} è il vettore che unisce la coda di \vec{u} con la punta di -\vec{v}.

     

    Differenza tra vettori metodo punta coda

    Differenza tra vettori con il metodo punta-coda.

     

    Per leggere tutto quello che c'è da sapere sul metodo punta coda vi rimandiamo alla pagina del link.

    Differenza vettoriale con il metodo algebrico

    Se conosciamo le componenti di due vettori, la loro differenza è quel vettore che ha come componenti la differenza delle componenti dei due vettori assegnati.

    Se ad esempio consideriamo

    \vec{u}=(u_1, u_2, u_3) \mbox{ e } \vec{v}=(v_1,v_2,v_3)

    la differenza dei vettori \vec{u},\ \vec{v} è

    \vec{u}-\vec{v} = (u_1,u_2,u_3)-(v_1,v_2,v_3) = (u_1-v_1, \ u_2-v_2, \ u_3-v_3)

    Se si superano le tre dimensioni, e quindi si lavora in \mathbb{R}^n, \mbox{ con } n \ge 4, ogni concezione geometrica svanisce, e quindi si può calcolare la differenza tra vettori solo algebricamente.

    Esempi di differenza tra vettori

    1) Calcolare la differenza tra i vettori \vec{u}=(7,2) \mbox{ e } \vec{v}=(2,7).

    \vec{u}-\vec{v} = (7,2)-(2,7) = (7-2, \ 2-7) = (5, -5)

    2) Determinare il vettore differenza tra \vec{u}=(2,3,-1,5), \ \vec{v}=(7,-1,-3,4).

    \\ \vec{u}-\vec{v} = (2,3,-1,5)-(7,-1,-3,4) = \\ \\ (2-7, \ 3-(-1), \ -1-(-3), \ 5-4) = (-5,4,2,1)

    3) Quanto vale il modulo della differenza tra i vettori \vec{u}=(1,-7,5) \mbox{ e } \vec{v}=(1,5,0)

    \vec{u}-\vec{v} = (1,-7,5)+(1,5,0) = (1-1, \ -7-5, \ 5-0) = (0,-12,5)

    La norma della differenza vettoriale è il modulo del vettore \vec{u}-\vec{v} e si calcola estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue componenti.

    ||\vec{u}-\vec{v}||=\sqrt{(0)^2+(-12)^2+5^2}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13

    ***

    Per fare un ripasso su tutte le proprietà dei vettori - click!

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Algebra Lineare